图1. 陈省身先生肖像。（何籽/图）

（1990年，陈省身先生应邀访问清华大学并为数学系本科生做学术报告。老顾平生第一次见到大师，心情激动万分。陈先生上来就温和地批评清华大学：“偌大的清华，居然没有人讲代数拓扑。”然后，陈先生在黑板上用粉笔画了个三角形，转身问大家“三角形内角和等于多少？”“一百八十度！”大家齐声回答。陈先生于是又问：”那么外角和呢？”“三百六十度！”大家又答道。“很好！外角和比内角和好，因为它可以推广到曲线情形。”陈先生在黑板上画了个封闭曲线，“切向量绕曲线一周，旋转了三百六十度。”陈先生又在黑板上画了个弯曲的曲面片，“起始点边界切向量绕边界一周平行移动，也旋转三百六十度。”由此，陈先生开始解释homology，exterior differential，de Rham cohomology，connection， curvature， characteristic class。当时老顾数学基础薄弱，英语更是一窍不通，听得如坠云雾，目瞪口呆。报告后，老顾虔诚地请陈先生签名，拿到签名后觉得无比幸福。

现在凝视着签名，老顾不胜唏嘘，往事如昨，历历在目，大师眉里藏珠，目若朗星，慈祥和蔼，道骨仙风。二十五年倏忽而逝，天下几度凉热。窗外秋风萧瑟，落叶缤纷，枫红似火，万顷碧空。斯人已去，陈类长存！）

国际著名微分几何大师陈省身先生结合微分几何和代数拓扑方法，创立了整体微分几何。他先后完成了两项划时代的重要工作：其一为黎曼流形的高斯-博纳定理，另一为矢量丛的示性类理论。在科学史上，陈省身先生与高斯，黎曼，嘉当并列。

我们前面讨论了纤维丛示性类的拓扑障碍类理论，所用的方法是组合方法【摩尔定律的拯救者-从组合角度浅谈陈省身示性类】，这里我们用微分几何方法，主要是用活动标架法来表示联络和曲率，所用的外微分工具在【黎曼几何的发轫-浅谈高斯绝妙定理】里有详尽介绍。

图2.球面的单位切丛。

纤维丛同伦分类 我们考察球面的单位切丛，记为。半球面的单位切丛平庸，拓扑为实心轮胎，我们将两个实心轮胎沿着边界粘和就得到。粘合模式由边界轮胎曲面间的拓扑同胚所决定，。更为严格的，的拓扑结构由粘和映射的同伦类所决定。粘和映射诱导了轮胎曲面的同调群之间的同态，，同态在同调群基底上的作用为，其矩阵表示为：

。

如果我们改变粘和映射的同伦类，所得的纤维丛的拓扑也随着改变。

曲面自同胚构成群，被称为是曲面的映射类群(Mapping Class Group)，记为。曲面的映射类群中的乘法被定义为自同胚的复合，单位元是恒同映射。轮胎曲面的映射类群和所有二阶可逆整数矩阵群同构，

。

所有以为底空间，为纤维的纤维丛也构成群，记成。这个群的乘法比较抽象，直观上，就是将局部平凡的丛（例如两个实心轮胎）粘和的映射复合，换言之，就是将“全局扭曲复合”。

并不是所有的中自同胚都对应着中的纤维丛，映射应该保持纤维，即，同时保持曲面定向，因此具有形式

，

所有这种矩阵构成的子群，。那么，如上讨论，我们有群和轮胎面的映射类群的子群同构。

由陈省身示性类理论，每一个纤维丛的同伦类对应着一个示性类，这给出了群之间的同构：。

应用组合方法计算丛的示性类比较繁难，陈省身大师提出了用曲率来表示示性类，极大地降低了计算的难度。陈省身大师的方法可以概括为：先在纤维丛上任意定义一个联络，由联络算出底流形上的曲率形式，曲率形式的一些多项式组合就给出了丛的示性类。我们下面简单介绍陈类方法。

直观解释

图3.左帧,兔子表面的测地线。右帧，兔子表面的测地圆，圆周上各点到中心的测地距离相等。（辛士庆/图）

测地线 想象我们在地势平缓变化的丘陵地带驾车，车行的轨迹是三维空间中的一条曲线。曲线的曲率有两部分，一部分是由于地势上下起伏带来的弯曲，另一部分是我们左右旋转方向盘带来的弯曲，第一部分被称为是法曲率，第二部分被称为是测地曲率。曲面上，测地曲率为0的曲线被称为是测地线。从某种意义上讲，测地线就是曲面上“最直”的曲线，同时也可以证明，在局部区域内，测地线就是曲面上“最短”的曲线。如果我们保持方向盘旋转角度始终为0，则汽车行走的轨迹就是测地线。

图4. 人脸曲面上的测地线，终点的微小变化引起测地线整体的剧烈变化。

平行移动 假设曲面上有一条测地线，在起点处任选一个切向量，沿着曲线移动切向量，在处的切向量记为，使得的长度等于的长度，和的夹角等于和的夹角。那么矢量场被称为是沿着测地线平行，将沿着平行移动得到。

图5. 平行移动。切向量角度的偏差等于所围绕区域的总曲率。

对于一般非测地曲线，我们先将曲线分成很多小段，每一小段用测地线连接起点和终点，然后将沿着分段测地线逐段平行移动到。我们再将分段进一步加细，平移后得到新的； 不停地加细下去，平移得到的矢量会逐渐收敛，收敛的极限就定义为沿着平行移动的结果。

如果有两个矢量场，都沿着曲线平行，则内积为常数。这意味着平行移动保持内积。

曲率 令是曲面上的区域，我们沿着其边缘平行移动一个切向量，绕过一周回到起点，所得的切向量和初始切向量并不重合，两个向量之间相差一个旋转。可以证明，旋转角度等于高斯曲率在上的积分：

。

从这个角度而言，高斯曲率是绕着无穷小圈平行移动切向量所得到的角度之差。

严格公式化

联络 联络是欧式空间中一个矢量场相对于另一个矢量场的方向导数在曲面上的直接推广，具体表示成协变微分算子。令为曲面上所有光滑切向量场构成的线性空间，为曲面的余切丛。如果一个微分算子满足如下两个条件：

1. ，

2. ，

则这一微分算子被称为是一个协变微分算子。可以证明，曲面上有无穷多个协变微分算子。给定两个光滑切矢量场，向量场相对于向量场的协变微分等于配对（微分形式作用于切向量）。

有了协变微分算子，我们可以定义平行移动。我们为平行移动的直观概念建立微分方程，沿着曲线平行的切矢量场满足方程：

，

曲线是测地线等价于曲线的速度向量场沿着自身平行：

。

平行移动解释了曲面切丛上联络概念的由来。假设是曲面上相异的两点，对应的切平面是不同的切空间，通过平行移动，我们可以构造它们之间的线性同构。首先，我们选取一条连接两点的路径，然后将中的任意切向量沿着路径平移到中，这样就给出了映射，可以证明是一个线性同构，它联络了不同的切空间。

协变微分定义了平行移动，反之，平行移动可以用来解释协变微分的几何意义。给定两个光滑切矢量场，在任意一点，我们构造一条路径，路径起始于点p, 起始速度向量等于，

，

我们用平行移动将拉回到起始点的切空间，这样才能和进行比较。向量场相对于向量场的协变微分等于：

，

这给出了协变微分的几何意义。

活动标架法 我们采用活动标架法来给出联络的具体计算方法，并进一步导出曲率公式。我们在曲面上任取一个光滑切矢量场，要求所有的零点都是孤立的，零点集合记为。由Hopf矢量场零点指标定理，我们有：

。

围绕每一个零点，我们挖掉一个小圆盘，

。

我们将矢量场在带洞曲面上归一化，得到矢量场，我们将曲面法向量场作为，根据右手定则，我们得到带洞曲面上的一个正交标准标架场。由以前讨论【黎曼几何的发轫-浅谈高斯绝妙定理】，曲面的结构方程为，

，

则曲面的黎曼度量为

，

曲面的联络由度量的外导数给出，

，

高斯曲率由联络的外导数给出，

。

曲面的协变微分等价于外微分去掉法向分量，

两个切矢量场的协变导数由配对（微分形式在切向量上的作用）给出

。

我们来推导一下平行移动的常微分方程。令，曲线为，

常微分方程为

。

算例 我们下面用曲面的等温参数再度重申一下从度量到联络，再到曲率的计算流程。，，度量为，

，

联络为，

，

曲率为，

。

高斯-博纳定理 我们考察二次微分形式：高斯曲率与面积元的积

，

被称之为曲率形式。因为曲面是二维的，所以曲率形式必然是闭的，

由高斯方程：

，

似乎曲率形式又是恰当的。但是实际上，曲率形式并不是恰当的，因为曲面标架场并不是处处定义的，而是定义在的，

，

因为，其物理意义是矢量旋转的速度，因此

，

由此，我们得到曲面的总曲率为：

，

这意味着无论曲面上的黎曼度量如何，总高斯曲率是曲面的拓扑不变量。这就是著名的高斯-博纳定理，这一定理联系着微分几何与拓扑。

这里，曲率形式是由曲面切丛的拓扑结构所决定，是曲面切丛的陈省身示性类。

曲面的标架场由矢量场所决定，所以曲面的标架丛等同于曲面的单位切丛，记为。投影映射诱导了上同调群之间的拉回同态，。可以证明，在单位切丛上联络全局定义，并且曲率形式变成恰当的，

。

在底流形上曲率形式闭而不恰当，在丛上变成恰当，这种现象被称为超度。

度量和联络的关系 在以上的讨论中，联络由度量导出，测地线既是“最直”又是“最短”，这里“最直”是由联络定义的，“最短”是由黎曼度量决定的。实际上，黎曼度量和联络是流形上的两种结构，联络定义了平行移动，度量给出了内积。和给定黎曼度量相匹配的联络被称为是度量的Levi-Civita联络，联络可以从度量张量中推导出来。但是，联络和度量可以是相互独立的。曲率衡量了平行移动带来的差异，实际上是直接决定于联络，而非是度量。

一般情形 通过以上介绍，我们可以总结出陈类的构造方法，基本原则是：构造标架场，标架的协变微分给出联络，联络的外导数给出曲率，曲率的组合给出陈类。

下面我们考察一般复向量丛的情形。设E是流形M上的q维复向量丛，是E上所有的截面形成的复向量空间。给定一个联络，其中是M的余切丛，满足，。示性类构造过程如下：

1. 定义标架：q个有序截面，如果使得在邻域U上线性无关，则它们构成U上的一组标架。我们可以取另外一组标架，在每一根纤维上，两组标架相差一个线性变换，，这里是非奇异的阶矩阵，其元素都是U上的光滑函数。

2. 表示联络：计算协变微分，

   ，

   其中是一阶微分式，令，则被称作是联络矩阵，。两个联络表示具有关系：

   。

   注意，联络的表示是局部定义的，而非全局定义。

3. 曲率形式：对联络取外微分

   ，

   这里曲率形式

   。的每一项都是二阶微分式。

4. 陈类表示：考虑行列式

   这里的乘法理解为wedge product，其中是U上的阶微分式，的值与标架的选取无关。

5. 陈类整体定义：以上4步，我们在一个开集U上定义了陈类，下面我们将陈类整体定义在整个流形上。现在设是流形M的开覆盖，在每个开集上定义陈类，第三步和第四步的公式显示这些在任意两开集的交集一致，因此我们得到是M上的阶微分式。这些微分式是闭微分式，对应到一个上同调类，所谓陈类。

这样，我们就完成了从联络到曲率，到陈类的构造过程。

讨论 相对于其他方法，陈类应用联络和曲率，相对容易计算。从对前几篇文章的反馈，同学们自然会产生如下的问题：

• “陈类是数学家闭门造车的产物吗？在自然界中，陈类真实存在吗？”

  当年，老顾也产生过类似的疑问。后来，老顾了解到，在量子物理层面，陈类比比皆是，特别在凝聚态物理中的量子霍尔效应【1】，本质上就是陈类。量子霍尔效应的发现者冯•克利青也因此获得了1985年的诺贝尔物理学奖。

• “我的领域是工程应用，有必要学习如此抽象的理论吗？”

  当年，老顾也问过教他数学分析的老师，陈天权先生。陈老师回答说：“年轻的时候尽量多学，不要问是否有用。”十年后，老顾和纽约州立大学的秦宏教授和学生贺英（现为新加坡南洋理工大学终身教授）基于陈类创立了流形样条理论【2】。整个机械加工制造工业都是基于样条理论，但是样条理论在复杂流形上的推广无法满足曲率光滑的要求，这是整个制造业最大的梦魇，其本质就是拓扑障碍的陈类。如果样条理论的奠基人懂得陈类，那么整个航空，汽车和船舶工业的历史都会被彻底改写。

• “学习陈类，需要这些重型武器吗？联络，曲率，上同调，微分形式，是否过于装神弄鬼？有更简单的方法吗？”

  
  

  老顾在这里引用爱因斯坦的一句话“自然并不简单”，因此为了表达自然，其数学语言也无法过于简单。虽然如此，多年来，老顾也尝试找到高斯-博纳的简单证明方法。最近，老顾通过和法国里昂中心大学的陈立民教授，Jean-Marie Morhvan教授及其学生李慧斌（现为西安交通大学讲师），曾薇（现为佛罗里达国际大学教授）合作，终于找到一种基于初等组合方法的证明【3】。

在后续的文章中，我们会进一步详尽解答这些问题，从而给出如何从物理，工程和离散几何角度来进一步理解陈省身示性类。

【1】Klaus von Klitzing，25Years of Quantum Hall Effect (QHE)，A Personal View on the Discovery，Physics and Applications of this Quantum Effect，S′eminaire Poincar′e 2 (2004) 1 – 16

【2】Xianfeng Gu, Ying He and Hong Qin. Manifold Splines. Graphical Model, 68(3):237-254 (2006).

【3】Huibin Li， Wei Zeng, Jean-Marie Morvan, Limin Chen.Surface Meshing with Curvature Convergence. IEEE Transaction on Visualization and Computer Graphics, 20(6):919-934 (2014).

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。