平面几何看似简单，学生能够问出的题目可不少呢。教师可真得有些准备才行啊。

尺规作图：被遗忘的思维体操http://blog.sciencenet.cn/blog-217073-837265.html

1984年下半年，我曾对三角形作图问题进行整理——Δ之边、角以及高、中线和角平分线之各种组合，寄给弟弟参考。他刚刚师专毕业到农村初中任教数学。30年过去了，相关内容还能清晰记得，略说几句供同好者回味中学时光。

(1) 已知三角平分线：不能以规尺作出Δ。

(2) 已知三高：作图基于Δ边长与高之乘积相等。以三高为边作ΔDEF；再以该Δ之三高为边作ΔA’B’C’；最后对其相似变换至高为给定值即可。或从辅助圆O外一点Q，以三高为半径分别作圆与圆O相交；连接Q与交点之直线交圆O于另一点；以3个新交点与点Q间距离作ΔA’B’C’，其与所求ΔABC相似。

(3) 已知三中线：以2/3 中线作ΔMBD，再如图延长其边长DM及中线BE即可(MC=BD)。

(4) 已知一边之高、中线及对角平分线: 作ΔMDA以及角平分线AT；延长AT与过M的MD 垂线交于N；作AN之垂直平分线，与NM的延长线交于O，则O为所求Δ的外接圆之圆心；以ON为半径作圆交MD之延长线可得顶点BC。这是我自己想出来的。不过，我觉得此前肯定有人做过，将来还会有人再做。

光线入射角与折射角之正弦比等于光速比，这是折射定律；其等价于光行最速即费马原理。我曾试图以几何方法证明而不得，见到张志军博主的介绍真是高兴。因其博文没有作图而赘语如下。

张志军.光的反射和折射定律的初等证明思路

http://blog.sciencenet.cn/blog-1341067-794682.html

光线AC以角α入射，CB以角β折射；入射介质和折射介质的光速为V₁和V₂，有sinα /sinβ = V₁/ V₂。

D 为界面上任一点，作 DE⊥AC 和 DF⊥CB；有∠EDC=α，∠FDC=β。因DC = EC /sinα = FC /sinβ，有EC /V₁=FC / V₂；光线沿ACB用时为AE/ V₁ + FB/ V₂，小于沿ADB用时。 D 点在C 点另一侧证明过程相同.

我考虑过铅球最佳投掷角的初等求解，而见《力学与实践》介绍的方法似乎欠妥，也作文送到该刊而竟得采用。

铅球最佳出手角的初等解法及讨论http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-764192.html

我想，若是中学教师能够掌握上述知识，并介绍给学生，该是多好啊。这不是什么研究，只是中学教师应该完成的功课。当然，大学教师同样有许多功课要做，与创新无关，与职称无关，与所谓的“业绩考核”无关。教师或许应以“称职、敬业而知耻”为努力目标；至于现在学校所要求的“项目、经费和获奖”，似乎并不是特别重要的东西。

家中没有圆规，不能进行线段量取，因而不能显示作图过程；

而扫描图片时挪动纸片，引起墨色脱落而影响整洁。

昨晚所做的事情，也不想再改。此情可待成追忆，只是当时已惘然。

已知三高的作图，也因没有圆规量取线段而不敢进行，只能以文字约略叙述。

应行仁 2014-10-22 13:17我初二时，自问自答出了一道尺规作图题，平面上任给一条直线和在直线同一边的两个点，要求画一个园过这两点与这直线相切。后来到了工厂，与一大帮青工闲聊，出了这道题说只需要初二的知识，结果无人能答，几个理科大学生想了三天，认为不可能，我与他们打赌赢了一碗红烧肉。
几何题，所用到的知识不多，妙在想对思路，一但解出，清清楚楚无可辩驳。

博主回复(2014-10-22 14:13)：应老师好。我花一分钟时间。
连接两点延长与直线相交，交点至两点距离乘积为切线平方，确定切点。

切点位置可在交点两侧，因而应该有两解。

我知道了。我在文中提及割线定理，应老师特地来“点化”。谢谢应老师啦。