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平面几何看似简单,学生能够问出的题目可不少呢。教师可真得有些准备才行啊。
尺规作图:被遗忘的思维体操http://blog.sciencenet.cn/blog-217073-837265.html
1984年下半年,我曾对三角形作图问题进行整理——Δ之边、角以及高、中线和角平分线之各种组合,寄给弟弟参考。他刚刚师专毕业到农村初中任教数学。30年过去了,相关内容还能清晰记得,略说几句供同好者回味中学时光。
(1) 已知三角平分线:不能以规尺作出Δ。
(2) 已知三高:作图基于Δ边长与高之乘积相等。以三高为边作ΔDEF;再以该Δ之三高为边作ΔA’B’C’;最后对其相似变换至高为给定值即可。或从辅助圆O外一点Q,以三高为半径分别作圆与圆O相交;连接Q与交点之直线交圆O于另一点;以3个新交点与点Q间距离作ΔA’B’C’,其与所求ΔABC相似。
(3) 已知三中线:以2/3 中线作ΔMBD,再如图延长其边长DM及中线BE即可(MC=BD)。
(4) 已知一边之高、中线及对角平分线: 作ΔMDA以及角平分线AT;延长AT与过M的MD 垂线交于N;作AN之垂直平分线,与NM的延长线交于O,则O为所求Δ的外接圆之圆心;以ON为半径作圆交MD之延长线可得顶点BC。这是我自己想出来的。不过,我觉得此前肯定有人做过,将来还会有人再做。
光线入射角与折射角之正弦比等于光速比,这是折射定律;其等价于光行最速即费马原理。我曾试图以几何方法证明而不得,见到张志军博主的介绍真是高兴。因其博文没有作图而赘语如下。
张志军.光的反射和折射定律的初等证明思路
http://blog.sciencenet.cn/blog-1341067-794682.html
光线AC以角α入射,CB以角β折射;入射介质和折射介质的光速为V1和V2,有sinα /sinβ = V1/ V2。
D 为界面上任一点,作 DE⊥AC 和 DF⊥CB;有∠EDC=α,∠FDC=β。因DC = EC /sinα = FC /sinβ,有EC /V1=FC / V2;光线沿ACB用时为AE/ V1 + FB/ V2,小于沿ADB用时。 D 点在C 点另一侧证明过程相同.
我考虑过铅球最佳投掷角的初等求解,而见《力学与实践》介绍的方法似乎欠妥,也作文送到该刊而竟得采用。
铅球最佳出手角的初等解法及讨论http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-764192.html
我想,若是中学教师能够掌握上述知识,并介绍给学生,该是多好啊。这不是什么研究,只是中学教师应该完成的功课。当然,大学教师同样有许多功课要做,与创新无关,与职称无关,与所谓的“业绩考核”无关。教师或许应以“称职、敬业而知耻”为努力目标;至于现在学校所要求的“项目、经费和获奖”,似乎并不是特别重要的东西。
家中没有圆规,不能进行线段量取,因而不能显示作图过程;
而扫描图片时挪动纸片,引起墨色脱落而影响整洁。
昨晚所做的事情,也不想再改。此情可待成追忆,只是当时已惘然。
已知三高的作图,也因没有圆规量取线段而不敢进行,只能以文字约略叙述。
应行仁 我初二时,自问自答出了一道尺规作图题,平面上任给一条直线和在直线同一边的两个点,要求画一个园过这两点与这直线相切。后来到了工厂,与一大帮青工闲聊,出了这道题说只需要初二的知识,结果无人能答,几个理科大学生想了三天,认为不可能,我与他们打赌赢了一碗红烧肉。
几何题,所用到的知识不多,妙在想对思路,一但解出,清清楚楚无可辩驳。
博主回复(2014-10-22 14:13):应老师好。我花一分钟时间。
连接两点延长与直线相交,交点至两点距离乘积为切线平方,确定切点。
切点位置可在交点两侧,因而应该有两解。
我知道了。我在文中提及割线定理,应老师特地来“点化”。谢谢应老师啦。
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