数学是严谨的吗？（3 一个形象的比喻）

在现代科技中，数学的严密性应该是最好的了。可是，数学真的是严密的吗？

上面是五台山的卫星地图。

以离散形式运算的谓词逻辑和命题逻辑，像上图里的地名一样多（可数的）；

包含实数在内的初等算术， a minimum of arithmetic (+, •, the symbols , and the usual rules for handling them)，就像这里的山脊和道路一样（连续统的）；

而“几何曲线”就像这里的山体（山脊+山坡）一样。

人的长相有“几何曲线”这么多，

人的数目是“可数的”，

所以，我们很难找到两个长得一样的人，

因为人数在几何曲线里是异常稀疏的；

同样，几乎没有指纹一样的人；

几乎没有虹膜一样的人。

……

目前的严密逻辑，其形式（语法）上是离散的（可数的）；

如果它表示的意思（所指事物或集合）也是可数的，

代表严密性的“一一对应”可以建立，

一旦所所表示的意思是连续统的或更复杂的，

“形式”就不足于表示“内容”了。

所以，“几何曲线”层次的逻辑，

是解决第三次数学危机的最可能出路，

正如王宪钧先生所言。  

工欲善其事，必先利其器。

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相关链接：

[1] 王浩. 数理逻辑通俗讲话. 北京：科学出版社，1981.

[2] 数学是严谨的吗？（1 历史事实）

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=747843

[3] 数学是严谨的吗？（2 逻辑是元凶）

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=749077

后记：

扎德先生的《模糊集合理论》，看上去像是“几何曲线”复杂性数学的一种退化形式。