29.洗澡水中的小孩

贝里是在研究量子混沌的时候发现贝里相位的。有人说，贝里并不是发现几何相位的第一人，但无论如何，贝里让人们重新认识到几何相位的重要性，比如，是在贝里文章的启发下，才发现了经典力学中的对应物：Hannay角^【1】。了解和解释几个经典的例子可以使我们更容易理解量子力学中的几何相位。

图29.1：矢量平行移动一周后的变化（a）平面（b）球面

图29.1是在平面和球面上分别作平行移动的例子：女孩从点1到点2再到点3，一直到点7，作平行移动一圈后回到点1（1和7是同一点）。所谓‘平行移动’的意思是说，她在移动的时候，尽可能保持身体（或是她的脸）相对于身体的中心线没有旋转。这样，当她经过1、2、3……回到1的时候，她认为她应该和原来出发时面对着同样的方向。她的想法是正确的，如果她是在平面上移动的话（图a）。但是，假如她是在球面上移动的话，她将发现她面朝的方向可能不一样了！图b中红色箭头所指示的便是她在球面上每个位置时面对的方向。从图中可见，出发时她的脸朝左，回来时却是脸朝右。这是怎么回事呢？关键是球面与平面不同的几何性质起了决定性的作用^【1】。

所以，从上面的例子得出一个结论：贝尔所说的“洗澡水”中有时有小孩，有时没小孩。在上述的例子中，如果在平面上“洗”（平行移动），洗澡水中没小孩。但如果是球面上洗，那就要小心了，不要糊里糊涂地把水给倒了，可能有个小孩在水里！

这个例子中，我们说，矢量方向改变的效应是几何的，不是动力的。怎么样改变就算是动力的呢？比如说，女孩自己将身体旋转，扭来扭去，或者是在移动的过程中，被别的人或物体碰撞而产生了方向变化，或者说，女孩是在风中移动，状态随时间而改变积累起来的方向变化等等，都应算是动力性质的。除去这些因素，只是因为经过路径所在的空间的几何性质，如前所说的平面或球面而造成的方向改变，就是几何的了。

像平面这种几何曲面，还包括可以展开成平面的柱面和锥面等，在经典力学的意义上，被称之为“平庸”的。反之，如像球面或马鞍面之类，不弄破就不可能铺开成平面的那种曲面，则是不平庸的。

刚才是经典比喻，在量子世界中的贝里相位也是这样，有时是0，可以忽视；有时则不能忽视，比如上一节中介绍的AB效应，实际上就是一个不可忽略的贝里相位。

什么时候可以忽略，什么时候不能忽略，则取决于路径通过的空间的几何性质。

图29.2：迈克尔·贝里和他研究的“磁悬浮青蛙”

迈克尔·贝里除了因提出几何相而出名之外，还因为与安德烈·海姆研究“磁悬浮青蛙”，而获得2000年的搞笑诺贝尔物理奖（Ig Nobel Prize for Physics）^【2】。安德烈·海姆后来因为对石墨烯的开创性实验研究而获得2010年诺贝尔物理奖，贝里也曾得到过沃尔夫物理奖等多种奖项。由此可见，搞笑诺贝尔奖也不仅仅是一种戏谑调侃，可能更多的是体现了一种幽默，得奖者中也不乏创意之人，比如贝里就应该可以算作一个。

回到上节中介绍的AB效应。AB效应中得到的不可积相位因子，根源是来自于那个细长的螺线线圈。线圈中的磁通量改变了空间的拓扑性质。没有磁场时，空间是平庸的、单连通的普通三维空间。首先简单地解释一下什么是“单连通”：如果一个区域中的任何一条闭曲线，都能连续地收缩到区域中任何一点，此区域便被称为单连通的。以图29.3的二维图形为例，图a淡蓝色图形中的任何曲线，例如与图中那条从B出发、到C、再回到B的类似曲线，都可以连续地变小而收缩到任何点。这说明那块淡蓝色图形是“单连通”的。但是，如果在这个区域中挖一个或几个洞，成为像图b所示的淡蓝色区域，情况便会有所不同。如果区域中的某条闭合曲线，有“洞”被包围其中的话，就不可能连续收缩到一个点了。这种图形空间便成为“多连通”的，也就是拓扑非平庸的了。

在AB效应中，通电螺线管的存在相当于在电子运动的三维空间中挖了一个洞，使空间变成了非平庸的，也使得电磁矢量势绕着螺线管积分一圈后，出现了一个不可积的相位因子。也就是贝里所说的不可与洗澡水一起倒掉的“小孩”。

再深究下去，物理学家们更感到眼前豁然一亮：那个相位因子f，并不是与每一点的局域电磁场（或电磁势）有关，而是与电磁势绕环路一圈的积分有关，这说明了什么呢？比较微分而言，积分体现的是一种整体性质。那么，这就说明AB效应不是一个局部效应，而是电磁势产生的一个整体效应^【3】。

图29.3：单连通和多连通

因此，Berry几何相因子的研究使人们认识到量子系统（乃至经典系统）的整体性质的重要性，这也就是如今它成为了量子理论中一个普遍存在的重要概念的原因。在数学上能描述空间整体性质的理论就是拓扑学。如刚才所述，利用电磁场空间的连通性质便能解释经典理论难以解释的AB效应，那么，也许还有许多奇妙的量子现象，可能都和空间的拓扑性质有关系，或许能用整体拓扑的概念来解释它们。

事实上的确是这样。不过，刚才我们经常说到的“空间”，则远远不是仅限于我们生活于其中的三维空间了。量子理论中“空间”的概念是多样化的，可以是真实的4维时空，也可以是相空间、晶体的倒格子空间、布里渊区，以及所谓系统的内禀空间，包括自旋空间、描述系统哈密顿量的参数空间、波函数的希尔伯特空间等等。到底需要考虑哪个空间的几何拓扑性质，必须根据具体问题而具体分析。

比如说，在量子理论中，一般用希尔伯特空间来描述量子态。如果考虑一个在真实的三维空间中运动的电子，对应于电子轨迹的每个点，都存在一个与波函数相应的无穷维的希尔伯特空间。由此我们可以建立一个数学模型，将电子真实运动的空间作为基空间，希尔伯特空间作为切空间，如此就构成了一个数学家称之为“纤维丛”的东西。上世纪70年代，理论物理学家将纤维丛与规范场论对应起来^【4】。如果来个通俗比喻的话，纤维丛可以直观地理解为如图29.4左图所示的图像：一根作为基底的铁丝上缠绕着许多根纤维（毛线），或者是想象成凸凹不平的泥土地上长满了长长短短的杂草。这样一来，在纤维丛所描述的量子理论中谈到空间是否“平庸”的问题时，就需要考虑这个复杂的“纤维丛”空间是否平庸的问题了。这儿包含了基空间、纤维空间、还有纤维丛空间三者的几何性质：铁丝弯曲成了什么形状？泥土地是平面还是球面？毛线或杂草（对应着希尔伯特空间），是简单而平庸的形态，还是某种卷曲、打结等古怪的样子？还有纤维丛本身，也可能是整体非平庸的，像29.4右图所示的莫比乌斯带那种。有关纤维丛的更深入介绍，可见参考文献^【5】。

总之，贝里相位的发现使物理学家们从拓扑的、整体的观点来研究物质的不同形态。这对凝聚态物理中近年来发现的各种量子相变现象的研究特别有用。因为原来研究相变时所使用的朗道自发对称破缺理论不适用了。如前面讨论过的量子霍尔效应，不同的整数（或分数）霍尔量子态，具有完全相同的对称性，即不能用对称破缺来解释这些态之间的互相转变。实际上，不同的霍尔量子态对应的是不同的拓扑不变量。如整数量子霍尔效应中的整数n，便是与二维电子气系统的哈密顿量所依赖的二维参数空间的拓扑性质有关，这个拓扑性质可以用一个非0的、以数学家陈省身命名的不变量—“第一陈数”来表征。

图29.4：纤维丛的直观图像

量子理论中还有一个有趣的问题，那是有关复数的用途。杨振宁在一次演讲中谈到关于从-1开方而得到的虚数i，他说：“虚数i以前在物理中也出现过，可是不是基本的，只是一个工具。到了量子力学发展以后，它就不只是个工具，而是一个基本观念了。为什么基础物理学必须用这个抽象的数学观念：数i，现在没有人能解释。”

虚数i的使用应该是和相位的概念密切相关的。虚数i的重要性说明电子的波函数不仅仅包含了电子在空间出现的概率的信息，更为重要的是包含了不可忽略的相位的信息。相位是量子理论的真正本质所在。

文小刚继提出拓扑序（Topological Order）之后，又将其扩展到更一般的“量子序”的概念，再次强调相位对区分量子序和经典序的重要性^【6】。

100多年前，发现未知的新元素是科学的热点。建立了基本粒子物理学之后，预言和发现新的基本粒子，成为物理学的热点。2013年的诺贝尔物理奖授予了预言希格斯粒子的几个物理学家，就是基于2012年CERN科学家们的实验，它发现并证实了标准模型中最后一个基本粒子--“上帝粒子” 的存在。当前，凝聚态物理之所以成为物理学之热点，则与近年来不断预言和实验证实的新的量子物态密切相关。因为新物态的浮现既有理论意义，还可能在自旋电子和量子计算等领域具有实用价值，有时还能导致意想不到的思想上的突破甚至物理及数学理论上的革命。对此，我们将拭目以待。

参考资料：

【1】Hannay J H 1985 Angle variable holonomy inadiabatic excursion of an integrable Hamiltonian J. Phys. A: Math. Gen.18 221–30.

【2】http://en.wikipedia.org/wiki/Ig_Nobel_Prize 

【3】《简单物理系统的整体性：贝里相位及其他》，李华钟著，上海科学技术出版社，1998。

【4】杨振宁：20世纪数学与物理的分与合

【5】Yvonne C.B.,Cecile D.M.,Margaret D.B.,1977,”Analysis, Manifolds, and Physics”,North Holland Publishing Company, Amsterdam.

【6】Xiao-Gang Wen, Quantum Field Theory of ManyBody Systems - From the Origin of Sound to an Origin of Light and Electrons,Oxford Univ. Press, Oxford, 2004.

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