【点群】和【空间群】：解读国际空间群表的科学价值

受吕喆老师（吕喆的博客）鼓励，今天我讲点群和空间群。

在晶体中，原子坐标的点群属性和空间群属性，是完全不同的。

余瑞璜先生的电子理论，需要空间群的帮忙。中科院应化所的张思远先生，他搞了个“晶体分解”公式，也需要空间群。我解剖过他的“晶体分解”，很妙的，我喜欢^_^。

总而言之，我原来喜欢点群，后来又喜欢上了空间群。为此，我才以自己的方式把230空间群推导了一遍，大有收获。正所谓：书到用时方很少啊！

   好了，今天咱们只谈点群。^_^

为了便于理解，我用众所周知的例子，即以Al、Cu、Ag等面心立方结构晶体为例子。

需要强调的是，别看例子简单，真正实现和点群和空间群的关联，还是需要下点功夫。实际上，hcp还算不上是麻烦的，Rhom结构才麻烦呢！Rhom和hcp又常常交叉在一起。

要想对点群和空间群有点真感觉，最好是从简单熟悉的晶体开始。

大家都知道，Al、Cu、Ag等是面心立方结构，属于225号空间群。Al的晶胞共涉及到14个原子：8个在角上，6个在面心。当然了，属于这个晶胞的只有4个原子（1/8×8＋1/2×6）。

从上面的图中看到，225号空间群也叫属于Oh点群的第五个空间群。Oh点群共有11个空间群（No. 221－No.230）。

Oh点群有48个操作元素（e，8C₃，6C₂，6C₄，3C₂，i，6S₄，8S₆，8S₆，3σ_h，6σ_d），数一数加起来共有48个，是个48阶点群。每一个操作元素，可以用一个矩阵来表示。由此可见，点群是地地道道的严格定量理论，空间群也是地地道道的严格定量理论，丝毫没有讨价还价的余地。

在立方体晶胞上（内）任何的点，都可以用这48个点群元素来操作，被操作后的点必然还在晶胞上（内），这就是所谓的点群对称性。

我在上面的225号空间群表中，画了一条蓝线和绿线。这是我们要讨论的重点。

先看绿线的信息：

“4”完全可以理解为立方体晶胞属有的原子数目，例如，Al、Cu、Ag等晶体，属于晶胞的有4个原子（1/8×8＋1/2×6），但是，晶胞却涉及到14个原子。

“a”是对位置进行标记，当然了，你也可以用汉字来标记。

m3m（3有上划线）是对位置进行的另外一种标记，我先不谈它（回避）。这一点也不影响我们理解空间群的要点，因为我们对Al、Cu、Ag等晶体很熟悉，很容易勾画出几何图像（物理图像）。

绿线上的最后一个数据就是原子坐标（0,0,0）。为什么只给出一个原子的。

Al、Cu、Ag等晶体的晶胞涉及到14个原子。空间群表只给出了一个原子坐标，实际上不只一个，还给出了原子坐标的“生成元”，（划红线的）即（0，0，0）+、（0，1/2，1/2）+，（1/2，0，1/2）+,（1/2，1/2，0）+。别忘了，还有平移矢量“生成元”（1，0，0）（0，1，0）（0，0，1）。通过组合式加法，就可得到14个，它们是：

0,0,0；0,0,1；0,0.5,0.5；0,1,0；0,1,1；.5,0,0.5；0.5,0.5,0；0.5,0.5,1；0.5,1,0.5；1,0,0；1,0,1；1,0.5,0.5；1,1,0；1,1,1。

一个不少，一个不多，正好14个。

国际空间群表明确表明：位于4a位置的有14个原子，上面都列出来了。这14个原子具有完全相同的空间群属性（or几何处境，or空间关系，or原子环境）。

凡是在空间群被列在一起的原子，例如，这14个原子，都安放在4a占位。就是因为它们都有完全相同的空间群属性。

但是，这14个原子的点群特性却完全不同。

为什么？

根据Oh点群，这14个原子可以分为两类：

角上原子：0,0,0；0,0,1； 0,1,0；0,1,1； 1,0,0；1,0,1； 1,1,0；1,1,1。

面心原子：0,0.5,0.5；0.5,0,0.5；0.5,0.5,0；0.5,0.5,1；0.5,1,0.5；1,0.5,0.5。

位于立方体角上的原子和位于面心的原子，它们的点群属性完全不同。

因为，用Oh点群的48个元素，对称操作角上的原子，这个角上的原子它永远也不会跑到面心上。

就像转动魔方一样，谁也不可能把角块转到边块的位置上。

再看蓝线上的数据。（为了方便阅读，把图再拿过来）

其他意义同上，只看坐标（1/2，1/2，1/2）。

4b 位置上涉及到13个原子：

0,0,0.5；0,0.5,0；0,0.5,1；0,1,0.5；0.5,0,0；0.5,0,1；0.5,0.5,0.5；0.5,1,0；0.5,1,1；1,0,0.5；1,0.5,0；1,0.5,1；1,1,0.5。

国际空间群表明：这13个原子的空间群属性（or几何处境，or空间关系，or原子环境）是完全一样的。

但是，这13个原子，它们的点群属性却是完全不同的。

实际上，这13个原子坐标也可以分为两类：

立方体中心：0.5,0.5,0.5；

棱中心：

0,0,0.5；0,0.5,0；0,0.5,1；0,1,0.5；0.5,0,0；0.5,0,1；0.5,1,0；0.5,1,1；1,0,0.5；1,0.5,0；1,0.5,1；1,1,0.5。

12个原子位于立方体的棱边中心，一个原子位于立方体中心。

位于棱边中心的原子和位于立方体中心的原子，它们的点群属性完全不同。

因为，用Oh点群的48个元素，对称操作棱边上的原子，这个棱边上的原子它永远也不会跑到体心上。

就像转动魔方一样，谁也不可能把边块转到魔方的体心位置上。

位置4a和位置4b，倒是完全等价的。

你把Al原子安放在4a位置，会得到fcc结构；

同样，你把Al原子安放在4b位置，也会得到fcc结构。

如果你把Na原子安放在4a位置，把Cl安放在4b位置，就会得到NaCl结构；

同样，如果你把Na原子安放在4b位置，把Cl安放在4a位置，也会得到NaCl结构。

但是，如果你从4a位置里拿出1个Na原子和4b位置里拿出的1个Cl原子进行交换，得到的结构是不存在的，即假的晶体结构。

   因此，晶体学是地地道道的严格理论。

口说无凭，附录一个作品^_^