26. 量子霍尔效应的解释(1)

量子霍尔效应的发现是20世纪凝聚态物理学的一项重大成就。因为对它的产生机制的解释，特别是对分数量子霍尔效应的解释，带给了物理学许多崭新的概念，大大促进了凝聚态物理研究的发展。

为了更好地理解量子霍尔效应，首先重温一下高中物理中学过的电子在磁场中的运动情形。

一个在均匀磁场中运动的经典二维电子，其所受到的磁力（洛仑兹力）遵从右手规则，应该处处与其运动方向垂直（图26.1a）。由于磁力不对电子作功，因此，电子的速率将保持不变但运动方向则不断改变，这意味着电子将保持回旋的圆周运动。电子回旋的半径与它的初始动量有关。有趣的是，电子的回旋角频率w_c，是一个只与其荷质比及磁场大小有关的量。因此，当磁感应强度B增加时，电子的回旋频率w_c也增加，如图26.1b所示。

图26.1：经典运动电子的回旋频率w_c随磁场的增大而增大

如果在电子运动的二维平面上同时还存在着电场的话，电子便会在做回旋运动的同时，又在电场库仑力的作用下，在二维平面上移动。这也就是解释经典霍尔效应的理论基础。

从前一节的叙述可知，量子霍尔效应的特点就是霍尔电阻图上一个一个的平台。平台表示不连续，即霍尔电阻是一份一份地跳跃增加的。这种‘不连续’、‘一份一份’，便是物理学中量子的基本特征。因此，量子霍尔效应的解释需要用到量子力学。

首先，整数量子霍尔效应（IQHE）可以用我们在此系列中用过多次的能带理论、费米能级等概念来粗略地说明。

IQHE是在二维电子气中观察到的。电子在二维电子气的垂直方向（磁场方向）被束缚住了，不能运动，因此我们只关心电子在平面方向的运动，即X和Y方向，X方向是施加正规电压的方向，Y方向则是产生霍尔电势的方向。

在朗道和栗弗席兹所编写的量子力学教程中^【1】，朗道给出了均匀磁场中二维电子体系的量子力学解（薛定谔方程）。朗道证明，如果磁场垂直于二维平面，可以使用朗道规范将问题简化为类似于一维谐振子的情况而得到电子能量的本征值。这些分离的能量的本征值被称为朗道能级。

诸位可能还记得我们开始介绍能带论的时候，讨论过电子共有化后成为自由电子，能级就扩展成了能带的过程（见第7节图2）。现在对二维电子气加上磁场的情形似乎是相反，原来无磁场时连续的能带又变成了一个一个分离的朗道能级。见图26.1a，其中分离的红色及淡蓝色短线表示的便是朗道能级。

这些朗道能级是什么意思呢？尽管这是量子力学的结果，我们仍然不妨与刚才提及的电子在磁场中运动的经典图像类比一下，以加深记忆和理解。

概括一下迄今为止我们所了解的电子的量子行为与经典行为的区别：一是电子是那种喜欢独居一室的费米子，这是电子能带论的基础；二是电子有个称为‘自旋’的内禀特性，这是自旋电子学和磁电子学的基础。

我们还知道，量子化的最重要特征就是一份一份的，正如爱因斯坦1905年发现光电效应时提出的观点：光是由一个一个能量为hw的量子组成的。其中的h叫做普朗克常数，凡是微观世界的量子现象都与它有关，朗道能级也是如此，朗道能级表示的是磁场中的电子可能具有的能量值。能量最小的基态是0.5hw_c，能级之间的距离是hw_c。这儿的w_c便正是上面所述经典电子运动时的回旋角频率。

这样一说，大家就明白了：哦，原来朗道能级就是磁场中经典电子圆周运动各种模式的量子对应物。

图26.2：朗道能级和安德森局域化

因为w_c正比于磁场，所以朗道能级的基态值和间隔也都正比于磁场。这从图26.2a可以看出来：当B增加时，能级的间隔随之增大。

能带论中的费米能级是研究电子在物质中输运性质的有力工具。从费米能级的不同位置，可以区分导体、绝缘体、半金属、半导体等等。对于磁场中的二维电子系统，只要维持MOSFET的栅极电压不变，磁场的变化并不影响载流子（电子）的密度，为了简单而方便地解释量子霍尔效应，我们可以粗略地假设费米能级也是不随磁场而变化的。因此，在图26.2中，我们用左右贯穿的一条水平红色虚线表示系统的费米能级。

水平红色虚线以下的能级，表示已经被电子填充（红），水平红色虚线以上的能级，则为尚未填充电子的空能级（蓝）。从图26.2a可见，磁场为0时，电子能量是连续的（红色连续区域），磁场存在时，连续区变成分离的能级，而因为总的电子数目并未减少，朗道能级一定是简并的，简并的意思就是说，同一个能量对应于多个量子态。当磁场增加时，朗道能级数目减少，每个朗道能级的简并度也将随之增加，以保持相同的总电子数。

要解释量子霍尔电阻的曲线中，为什么会出现平台，还需要简单介绍一点点另一位凝聚态物理大师的工作-安德森的局域化理论^【2】。

菲利普·安德森（Philip Anderson，1923年－）是美国物理学家。局域态、扩展态的概念和理论，是当他五十年代在新泽西的贝尔实验室工作时首先提出来的，为此他和vanVleck、Mott分享了1977年的诺贝尔物理奖。

什么叫局域态和扩展态呢？其实这两个概念我们早已使用，不过没有为其正名而已。比如，在周期格点排列的晶体中，电子的运动是公有化的，其波函数可自由扩展到整个晶体，这种态就被称为扩展态。反之，电子如果不是公有化的自由电子，而是只在局部区域里转悠，则称之为电子的局域态。

安德森的理论说，如果晶格中存在随机的无序杂质，周期性就会被破坏。使得电子无法自由地在整个晶体中运动，而是在杂质周围打转，就像被束缚在原子周围的情形一样，成为了局域态。在金属或半导体中，只有扩展态的电子才能形成电流，处于局域态的电子对电流没有贡献。

将此理论应用于二维电子气，会是什么情形呢？二维电子气系统中总是有一些无序杂质存在的。所以，电子便会被局域化。电子局域化对能级的影响则是减小能级的简并度，将能级扩展成能带。于是，在原来是线状的、狭窄的每条朗道能级两边，便产生了一个边沿分布，如图26.2b中的灰色阴影部分所示，称之为朗道子能带。

安德森等人在1978年的工作中还发现，无磁场的二维体系中，只要有任意小的无序杂质存在，最后将会使所有的电子局域化。由此而得出一个结论：无磁场的二维体系，一定是不能导电的绝缘体。

但是，冯•克利青等人发现的量子霍尔效应，却显示二维体系仍然具有导电性，那又该如何解释呢？从理所当然地推理便能猜想：一定是磁场起了作用！更多的研究也发现，二维电子体系有磁场时，和无磁场情况不一样，不再是只有局域态，而是局域态和扩展态共存。

再回到图26.2b，人们认为，能导电的电子扩展态，聚集在理想的朗道能级周围（红色），而用灰色表示的其余尾部部分，则都是不能导电的局域态。

即使有了扩展态的能级，也不是总能导电的。大家可能还记得我们曾经说过，物体的导电性能取决于费米能级在能带中的位置，或者说，是取决于费米能级附近，有没有被电子占据了的扩展态。在图26.2b中我们看到，虽然代表费米能级的红色虚线是一条数值固定的水平线，但因为朗道能级的图像是随着磁场变化的，所以费米能级与朗道子能带的相对位置便也随着磁场而变化。

现在，我们便能试图解释一下量子霍尔效应了。（待续）

参考资料：

【1】Landau, L. D.; E. M. Lifshitz (1977).Quantum Mechanics: Nonrelativistic Theory. Pergamon Press.

【2】Anderson, P. W. (1958). "Absence ofDiffusion in Certain Random Lattices". Phys. Rev. 109 (5): 1492–1505.

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