25. 量子霍尔效应的诞生

上一节介绍的经典霍尔效应，霍尔电阻r_xy与磁感应强度B成正比，即r_xy与B的关系是一条倾斜上升的直线。而一般的纵向电阻r_xx呢，应该是一条与磁场没有什么关系的水平线。见图25.1b的上图。

图25.1:经典和量子霍尔效应

但是，在上世纪70年代末，德国物理学家冯•克利青（Klaus von Klitzing，1943-）在实验室中观察到的现象却与经典霍尔效应大相径庭^【1】。

当然，冯•克利青并不是重复霍尔当年的金箔实验，他使用的样品是一种在集成电路中广泛使用的场效应管MOSFET。准确地说，是MOSFET中形成的‘二维电子气’。什么叫二维电子气呢？它实际上看起来并不太像‘气’，而和金箔有些类似的地方是，它也算是一个二维薄片。自从有了MBE分子外延技术之后，科学家及电子工程师们对三明治结构情有独钟，也特别感兴趣研究只包含少数几层原子的二维系统。二维电子气就是在MOSFET或类似的异质结中加以垂直电场时形成的反转层（见图25.1a，样品中间的红色薄层）。在这个一般只有几纳米厚的薄层中，电子在与薄片垂直的Z方向被完全束缚住，却可以在薄片中二维地（X、Y）自由移动，这大概就是将它称之为二维‘气’的原因。这种结构在深低温及强磁场之下表现出许多奇特的量子行为，量子霍尔效应便是其中之一。

“深低温及强磁场”，这是冯•克利青的实验与一般霍尔现象产生条件的另一个不同之处。霍尔当初是在常温下、磁场为一个Tesla左右得到的。冯•克利青的量子霍尔效应在绝对1.5K度（摄氏-271度），磁场高达19.8T时被观察到。

让我们将图25.1c中的量子霍尔效应与25.1b经典情况比较一下，看看它有些什么特别之处。首先看看霍尔电阻r_xy随磁场B变化的曲线（红线）。刚才说过，在经典情况，磁场B增大时，r_xy沿斜线上升，而在量子的情况下，霍尔电阻也随磁场B的增大而上升，只是上升得不均匀，是爬楼梯式的上升。霍尔电阻曲线表现为一个一个的平台。换言之，当磁场连续增大时，霍尔电阻r_xy的变化却不是连续的。它增加到某一个数值后便停住不动，只有当磁场一直继续增大到另外某个数值时，红线才又突然跳到另一个平台上，表明霍尔电阻到达一个新的数值。如此一直下去，平台越来越宽，跳跃得越来越高……

再看看另外一条绿色曲线，就感觉更奇怪了。如果把霍尔电阻叫做横向电阻的话，绿色曲线便是纵向电阻r_xx，也就是那种在通常意义上定义为电压电流之比值的电阻。在绿色曲线所示的经典情形，纵向电阻平行于B轴，即它有一个固定的数值，并不随磁场变化，这点与我们的常识一致。而在量子情形则大不一样了：当红线出现平台的时候，这个电阻值变成了0。电阻为0不就好像是意味着电流能够无阻碍地通过导体吗？

霍尔电阻是跳跃式的变化，从一个值跳到另一个值，这正是物理学家们经常提到的‘量子’特征，所以，便理所当然的把此现象称为量子霍尔效应。无论如何，量子霍尔效应的重要性毋庸置疑，发现者冯•克利青也因为“于1980年2月5日在格勒诺布尔高强度磁场实验室发现量子霍尔效应”^【3】而获得了1985年的诺贝尔物理学奖。

“哇，一天就做出了诺贝尔奖级别的工作！”有人感叹着。实际情况往往并不如此，人们往往被诺奖的辉煌照花了眼，而难以看见光环下面科学家当年的困惑和艰辛。

冯•克利青并不是偶然观察到量子霍尔现象的。在1975年，日本东京大学的年轻物理学家安藤恒也，和他的老师植村泰忠等，于近似计算的基础上预测了这种现象^【2】。但不知为什么，可能是比较保守吧，连他们自己也不敢相信这会是真实的。之后，从1978年开始，研究MOSFET的其它团队，以及冯•克利青自己的一个硕士生爱伯特，都曾经多次在实验中观察到霍尔电阻的平台现象，但不是十分理解，也没有引起足够的重视。冯•克利青曾说过：“我们不停地改变实验条件，提高样品质量，更换器件，那些每天重复的、平凡的测量使我们感到乏味”，他们甚至一度认为，曲线中那些不寻常的地方，“可能是因为材料中的缺陷严重地影响了霍尔效应的结果”^【4】。

图25.2：（a）量子霍尔效应发现者，身后是他使用的MOSFET线路

（b）当磁场=19.8T时，霍尔电阻出现平台（黑线）^【4】

那些测量曲线的形状无时不在冯•克利青的脑子里盘旋着，晃荡着，日夜纠缠他好几年，见图25.2b。

这儿需要说明的是，图25.2b是冯•克利青实验所测到的电阻（纵向或横向）随MOSFET栅极电压的变化图。这个图的坐标横轴与图25.1c中的不一样。图25.1c的实验曲线是假设栅极电压固定，磁场B从小变大，而冯•克利青的实验曲线是固定磁场B=0和B=19.8T时，改变栅极电压进行测量而得到的。改变栅极电压等效于改变载流子的浓度N。两种测量结果图可以互相转换。

从图25.2b中看到，磁场强度B=0时，可类似于经典情形，那时的纵向电阻（绿线）随着电压的增加而平滑地减少，当磁场强度B=19.8T时，两条曲线的形状就比较特殊了：横向的霍尔电阻曲线（黑线）出现平台，纵向电阻（红线）则上下震荡。

1980年2月5日凌晨，冯•克利青一如既往地仍然呆在实验室里，望着实验数据的曲线陷入沉思。为什么测量的所有样品都表现那种平台特征呢？也许不是因为材料的缺陷，而是反映了某种新的、内在的规律？这会不会是一个普适的现象呢？几个与以往不同的想法突然在冯•克利青的脑中闪现。他拿出笔记本，继续2月4日的笔记，对照试验数据作了一点简单的计算。望着自己对几个平台高度测量的结果，冯•克利青似乎发现了一点名堂：实验结果中霍尔电阻最高那个平台的高度几乎是固定的：总是在25163Ohm左右。冯•克利青想了想，在笔记本上推导出了一个表达式：h/e²。这儿h是普朗克常数，e是电子的电荷。很好，这个表达式还正好是电阻的量纲！算出它的数值吧，得到了。啊，理论值是25813Ohm！等等，如果考虑测量仪器有1M Ohm的并联电阻，就和测到的数值（25163Ohm）相差不多了。算到这儿，一道亮光在冯•克利青脑中一闪，一股欣喜之感在冯•克利青心头油然而生！

那就是说，这些平台应该不是随便出现的！它们不取决于实验所用的材料和条件，而是只由两个基本的物理常数决定：代表量子的h，和代表电子的e。冯•克利青再看看自己写在实验日誌中的表达式：h/e²，继续反复思考着：如果用这个表达式的数值作为电阻的单位来表示霍尔电阻平台的高度的话，会是什么情形呢？对了，最高那个的高度应该是1；第二个看起来像是1/2；第三个可能是1/3；然后，1/4，1/5，一直用整数继续算下去。冯•克利青如此计算出来的数值竟然与实验结果完全一致。啊，太奇特了！物理学家的心中豁然开朗：原来在这些枯燥无味的数据中，隐藏着如此美妙动人的量子韵律！

于是，在冯•克利青及许多别的研究人员多年的努力和困惑之后，量子霍尔效应终于‘偶然’诞生于那一天！

图25.3：华裔科学家崔琦和分数量子霍尔效应

冯•克利青发现的是整数量子霍尔效应，也就是说，霍尔电阻平台的数值是等于（h/e²）除以一个整数n。每一层平台对应一个整数n。

1982年，美国新泽西贝尔实验室的几个科学家，崔琦和史特莫等，在更深的低温（绝对温度0.1K度）及更强的磁场（20个Tesla）下，用载流子密度更高的材料（HEMT结构）研究二维电子气，得到比整数量子霍尔效应（IQHE）曲线更为精细的台阶，见图25.3左图。崔琦等的结果表明，霍尔电阻平台不仅仅在整数n的地方出现，也在某些分数处被观察到，故称之为分数量子霍尔效应^【5】。不论分数整数，将这两种霍尔效应统称为量子霍尔效应。

分数量子霍尔效应的发现者之一崔琦（Daniel Chee Tsui）是1939年出生于中国河南，后来到香港读书，再赴美国深造，移居美国的华人。他和史特莫（H.L. Stormer），及建立分数量子霍尔效应理论解释的劳夫林（R. B.Laughlin）三人一起，分享了1998年的诺贝尔物理奖。崔琦被中国媒体誉为“从贫穷乡材走出来的诺贝尔奖得主”。

参考资料：

【1】K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper (1980)."New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure ConstantBased on Quantized Hall". Physical Review Letters 45 (6): 494–497.

【2】Theory of Hall Effect in a Two-DimensionalElectron System

Tsuneya Ando, Yukio Matsumoto and Yasutada Uemura，J.Phys. Soc. Jpn. 39 (1975) pp. 279-288

【3】维基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%8B%E5%8A%B3%E6%96%AF%C2%B7%E5%86%AF%C2%B7%E5%85%8B%E5%88%A9%E9%9D%92

【4】Klaus von Klitzing，25Years of Quantum Hall Effect (QHE)，A Personal View on the Discovery，Physics and Applications of this Quantum Effect，S′eminaire Poincar′e 2 (2004) 1 – 16

http://www.bourbaphy.fr/klitzing.pdf

【5】D.C.Tsui, H.L.Stormer and A.C.Crossard,Phys.Review Lett.48, 1559 (1982).Two-DimensionalMagnetotransport in the Extreme Quantum Limit

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