学：学生，教：教师，李：李晓榕。

李：再举一例。依我之见，主要是由于微积分的巨大成功，人们普遍认为世界在时间上和空间上都是连续的。当然，人脑“填补空白”的天然趋势，也使我们容易把世界连续化。近大半个世纪以来，由于计算机应用和量子论的成功，人们心目中的世界越来越数字化、离散化了。比如，理论物理界有人认为时间也是量子化的，具有不可分割的最小单元。前一段时间，基础问题研究所（Foundational Questions Institute）有个征文竞赛，命题是“现实是离散/数字的，还是连续/模拟的？”（Is Reality Digital or Analog?）很多人踊跃参加。这个命题本身就是还原论的：为什么一定非此（连续）即彼（离散）？比如我认为，现实是非此非彼：既非连续，又非离散，或者亦此亦彼：既连续又离散。换言之，现实作为一个整体是多元辨证、会变化有生命的，不能分解还原成或是连续的，或是离散的。说得更本质、更透彻点，连续和离散是两个抽象的极端概念，只有还原病患者才会坚信，如此错综复杂、生机勃勃、千姿百态的现实大千世界必定只有一个单相本质，才会把世界的本质强行还原成这两个简单抽象中的一个。这跟要把现实强行还原成是公的还是母的差不多同样滑稽。只有还原病患者才会争论现实世界到底是连续的、还是离散的。还有不少类似的命题，比如：世界是必然的还是偶然的，是确定的还是随机的？与连续和离散一样，必然和偶然、确定和随机也是两对抽象的极端概念。为什么世界非得非此即彼，不能非此非彼或兼而有之：既有必然成分，又有偶然成分,既有确定成分，又有随机成分？这类命题有不少著述，洋洋洒洒，蔚为大观。其实，连续和离散、必然和偶然、确定和随机，等等，都是我们的简化处理，何必自己挖个陷阱往里跳，造个牛角尖往里钻？

     我有一个持续多年的困惑：我认为，演绎逻辑、分析方法以及追求精确都是有局限的。然而，数学作为它们的一个集中体现，为什么却如此“完美”而看不出多少缺陷呢？直到几年前才受到启发而豁然开朗：

数学并不完美，其实有本质局限。

举例来说，数学家徐利治在《徐利治谈数学哲学·关于数学与抽象思维的若干问题》中指出：康托尔把数学直线抽象成“线性点集”，它与实数集一一对应。然而，实际上直线不仅有点积性，还有连续性，而它的抽象结构模式只抓住了点积性。惟其如此，才冒出了“直线与平面一一对应，也与任意维欧氏空间一一对应”等违背维度直观常识和实践的悖论。著名的巴拿赫-塔尔斯基（Banach-Tarski）“分球怪论”也源于此。由此不难理解我早先所说的：也许实数表示的突破，可以带来数学的大革命。

     我觉得，数学对精确性的追求，加上分析还原方法的限制，导致了数学的无歧纯一性要求，这一要求会导致强分硬拆无法分离的东西。因此，现有的数学有本质缺陷，它的应用要求强行割裂一个有多相本质的事物。这说到底是还原论的局限。比如，一个包含所有具有某种性质之集合的集合，既可视为一个完成了的对象，即一个实在对象（实无穷），又具有无限扩张的过程性，也就是一种潜在对象（潜无穷），罗素悖论等悖论就源于此。亚里士多德首次明确区分实无穷和潜无穷，他在《物理学》中精辟地指出，实无穷是指“此外全无”（“毫无剩余”），而潜无穷是指“此外永有”（“永远有剩余”）。极限、无穷小等近代数学的基本概念也都有这种二重性：潜在的无终止性以及确定的完成性。现有数学无法将这两种本质冲突的性质统一于一个单一的数学抽象，而只能以偏概全，取其一而舍其他。比如，集合论取完成性而舍过程性，而极限论则取无穷的过程性而舍完成性，因而无穷大是一个过程；经典极限论取无穷小的过程性而舍其完成性，非经典分析反之。有了这种认识之后，去看康托尔对“集合”的原始定义：一个集合就是一个“多”，它能被当做一个“一”，（A set is a Many that allows itself to be thought of as a One）是不是有一种新的认识？换言之，一个集合既是“多”，又是“一”，有二相本质，未必满足无歧纯一性要求，因而在有些场合下导致悖论，也就不足为怪了。所以，作为现代数学最基本、最重要的概念之一的集合概念能否被充分澄清，颇具争议。比如，波利亚和外尔这两位世界一流数学家，对此观点迥异（前者认为很快就能被澄清，后者认为反之），因而出现了戏剧性的“波利亚-外尔之赌”（Polya-Weyl wager）。哥德尔相信，数学家们的观点在二者之间摇摆。数学的公理化方法也体现了分析还原的精神。

学：我还是不明白您说的数学的这个缺陷到底是怎么回事，追求无歧义性为什么是个局限？

李：是不容易懂。打个比方，数学的这个本质局限，有点像把孔子的名言“学而时习之”译成白话时，争论这儿的“习”到底是“实习”还是“复习”。其实，它兼含各种“习”之义：复习、温习、实习、练习、研习、演习、诵习、讲习、自习、修习，等等。但是，还原论者难以容忍或接受这种“含糊其辞”。与古文原文相比，白话今译明确清晰但片面——以偏概全，无法传递古文的朦胧之美、含蓄之妙、浑然之成、简洁之佳、空灵之趣。凡对照过古文原文与白话今译之人，都会有此感想。所以读原著经典，而不是他人的转述、今译和缩写，大有裨益。再如，《易经》之“易”，一名三义：简易、变易、不易。它的一个流行英译本取名为“Book of Changes”，这可以说是还原论的译名，——译者明知有三义，还是忍不住只取一义。

     换一个角度说，数学要求无矛盾性，因而只能把握无矛盾的对象，即本质始终如一的对象。一个复杂事物之所以复杂，往往是因为它有多相本质，充满了矛盾。所以，分析还原这一套，只对相对简单明确的事物有效。我认为，正因为现实问题大多不满足数学的无歧纯一性要求，数学才变得“实则不确，确则不实”，也就是爱因斯坦所说的，当针对现实之时，数学法则是不确定的，而当数学法则是确定之时，它不针对现实。（As far as the laws of mathematics refer to reality,they are not certain, and as far as they are certain, they do not refer to reality. 引自他的“The Dao of Physics”）与此相关，有些数学天才无法适应朦胧模糊，因而缺乏常识，不谙人情世故。话说回来，数学的这种无歧纯一性要求也大有好处，比如它有助于使研习数学之人的心志更为专一精确，即“数学使人精密”（培根之语）。

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27：科学之弊总结

与师生谈科研选题：

1：科研的战略、战术和战斗力                                    2：选题三准则：趋喜避厌

3：选题三准则：如何培养兴趣                                    4：选题三准则：择重舍轻，扬长避短

5：得题之关键                                                  6：如何应对新潮

7：选题四建议                                                  8：总结：选题好比找对象

与师生谈研究策略：

1：科研四要素                                                  2：突出重围的法门

3：人人信之而善忘的黄金法则                                    4：孤胆方是英雄，独创才有真才

5：大道至简，科学之魄                                          6：弃繁就简

7：以特制胜                                                    8：综括

9：反行众道，改形换状                                          10：迷雾中的灯塔

11：技穷时的上策                                               12：驾驭时间之术1

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1：论文写作五要点                                              2：论文的结构、条理和语言

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5：与编审人员打交道

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