学：学生，教：教师，李：李晓榕。

李：顺便强调一下，我认为：

螺环奇妙至极，它会带来质的飞跃。

这有很多例子，混沌就是一个。对于控制系统，闭环（反馈）控制与“开环”控制大异其趣，有质的不同，比如，利用反馈可以大大减小对模型精度的要求。（附带说一句，控制界的这一术语挺有趣：凡环皆闭，不闭不成环，说“开环”（open loop）跟说“弯曲的直线”、“笔直的曲线”和“带角的圆”类似。不过，积非成是，习惯成自然，控制界早已对此麻木。）再如，无穷与有限有天壤之别。整数集是否大于偶数集？一方面，偶数集是整数集的子集；另一方面，将整数集的每一元素都乘以2，就得到偶数集。这是所谓伽利略悖论的一种简化形式。这种悖论只存在于无穷集中，有限集不会出现这种悖论。所以康托尔定义无穷集为：与自身的某些部分（即集合论的真子集）能建立一一对应关系的集合。换言之，就是能与自身的局部等同的这种整体就是无穷。又是一个环！无穷离不开循环。我们怎么接受无穷的概念？一是周期性，而周期性实质是一种循环。二是可以不停地加上去，不管多大都可以加，所以不存在最大的数。这样，无穷是个过程。在读本科时，说它是个过程，当时难以领会，我这么说就会加深理解。

学：照这么说，无穷大还非得是一个过程不可。

李：集合的势就是其元素的总数，它的幂集就是包含其所有子集的这个集合。康托尔证明了一个无穷集的势小于它的幂集的势。又是一个环！

循环乃无穷之母，无穷是循环的外在体现。

康托尔的无穷集定义很能反映这一点。循环与无穷的关系有点类似于逻辑学中内涵（即含义）与外延（即全体适用对象）的关系。一个有限球面与一个无穷平面是一一对应的，而球面就是一种“闭环”，有限而无边。圆，作为一种闭环，也有限而无尽头。表示无穷大的符号∞也是由两个圆圈组成，这绝非巧合，其合理性在于，可以在这么一条曲线上永无止境地走下去。（The appropriatenesssof the symbol ∞ forinfinity lies in the fact that one can travel endlessly around such a curve.）（拉克尔《无穷与心智》（Rudy Rucker, Infinity and the Mind））数学归纳法是从有限通往可列无穷的一座可靠桥梁，它巧妙地用了一个循环，其强大的力量源于该循环。在时间序列分析中，一个简单的一阶自回归（autoregressive）模型，就等价于一个无穷阶的移动平均（moving average）模型。自回归是一种圈环反馈，而移动平均不涉及环。

          盯着看圈，它就转。盯着直线看，有此效果么？       二维之圈成就三维之锥，所见属锥内或锥外？

  与混沌理论密切相关的是分形几何，它是二十世纪数学最重要的进展之一。分形的一大本质是不断嵌套的自相似性。高层单元由相似的低层单元构成，这种嵌套、重复的模式具有螺环的精髓。比如，有人提出的生物全息律，就具有分形几何上的自相似性，它预言了生物克隆的可能性。分形几何正是抓住了自相似性这一圈环本质，才能有效地刻画大量复杂的自然事物，完成了数学的一大飞跃。此前，数学往往只能对付相对简单的或经简化的自然事物。

真正的演绎逻辑悖论往往离不开或显或隐的自指（自我指称），可以说，

自指是悖论之源。

什么是自指？还是一种环。“本句话为假”，就是一个依赖于自指的悖论。如果它真，它的内容就保证它假，如果它假，就证实了它的内容，所以它真。把演绎逻辑用于自指、闭环或无穷时，有可能出现罗素的所谓“恶性循环”。自洽指无自相矛盾。哥德尔不完备性定理说，自洽与完备“势不两立”：在任何一个包含算术系统的体系里，必定存在这样的命题，它不是既可证明又可证伪，就是无法在有限步内按任何机械规则证明或证伪。也就是说，要么矛盾，要么不完备。哥德尔证明了这样一个体系必可嵌入如下命题A：“本命题是不可证明的”。又是一个环！如果A可证，那么与其内容矛盾，所以不自洽；反之，如果A不可证，那么A为真却不可证，所以不完备。不完备性定理由此得证。两害相权取其轻，相对而言，人们更不能容忍矛盾，所以该定理称为不完备性定理或不完全性定理。可以说该定理的精神实质是：在一个足够复杂的体系中必存在这样一个自我循环，即复杂离不开自我循环。正如造不出永动机一样，不存在可证明为自洽而完备的非平凡体系。哥德尔第二不完备性定理说，自洽者无“自知之明”：一个自洽系统的自洽性不能在系统内证明。事实上，一个系统是自洽的当且仅当它的自洽性不能在该系统内证明。在系统内证明自洽性是怎么回事？就是系统证明自身的全局性质，又成环了，所以又飞跃了、跳出系统本身这个层次了。侯世达（Dougalas Hofstadter）的《哥德尔，艾舍尔，巴赫——集异璧之大成》（Godel, Escher,Bach: An Eternal Golden Braid）一书洋洋洒洒、生动有趣地讨论了自指这个“怪圈”，值得一读。

   生命问题也一样。毫无疑问，生命的演化远比物质的运动复杂。究其根源，我认为主要原因是生命中含有大量各种自我作用——循环，比如复制和新陈代谢都是循环的形式。每一生命都含有各种复杂反馈循环。没有循环，就不会有生命。一旦循环中断了，生命也就停止了。正是循环，赋予了生命，所以生命的起源，不在于任何具体元素或载体，而在于有机体的循环，在于循环中的大量往复。甚至可以说，

正是循环之妙，开出生命之花。

生命就是这种循环的体现。至今没有一个普遍接受的生命定义。在多种流行的定义中，相对最受欢迎的遗传进化定义就十分强调生命的复制功能，基于生理学、新陈代谢、生物化学等方面的其他定义，我认为对循环的关键作用都不够重视。每一个生命都是一个高度复杂的系统。一般地说，一个不含任何圈环的系统，不会是高度复杂的。热力学第二定律说，一个封闭系统的熵（无序度量）与时俱增。生命也被定义为一个局部有序程度与时俱增的系统。可见生命必须是开放系统。有些科学家认为，一个开放系统有序程度的增加，是通过能量的流过而建立循环来实现的，可见循环对于生命之重要。

   人的思想为什么复杂？我认为本质的根源是人有自我意识。

自我意识是万恶之源、众善之本、百乐之根。

自我意识开启广阔的新天地，它是善恶、道德、爱憎、恐惧、理智、意愿等等的基础。没有自我意识，何来精神世界？什么是自我意识？还是个环！有了它，就复杂多了，就引发一系列质变。自我意识是人类的“灵魂”，具有清醒的自我意识是人类升越（rise above）动物界而成为“万物之灵”的根源。研究表明，一个人的自我意识是在幼儿期间逐渐形成的，儿童直到七八岁后才较有规律地在梦境中出现自我。正如动物无法理解自我意识，没有清醒的自我意识就不能理解“自我”这种意识。没在圈环中呆过，就难以体悟圈环之妙。

   另外，根据斯滕伯格（Robert Sternberg）的智慧之平衡理论（the balancetheory of wisdom），智慧就是平衡各种利益，一般也离不开循环。辩证法中的否定之否定，也是一种螺环，这是更高层次的东西，是一种质的飞跃。佛大彻大悟的大智慧，应该包含更高层次的螺环，比如对宇宙人生的圈式认识。道家的大智慧强调无我，说到底就是顺应自然，排除自我意识，切断万恶之源。总之，圈环、循环、螺旋非常奇妙玄奥，貌似简单，实则产生质的飞跃。所以我们梦寐以求“良性循环”，而“恶性循环”的后果不堪设想。类似上面这样的例子，不胜枚举。凡此种种，都说明：

无环，就复杂不了。

   话说回来，西方思维明显功能强大，它要人寻因探源。当前是科学征服世界，科学思维是线式的、不成环的，它追求的是因果关系，美名曰“真理”。这些真理的发现或确立，反过来大大强化了线式因果思维和科学的独断论。东方思维往往“因果不明”，不擅长于对付相对简单的事物，在低层次上远不如科学的线式因果思维，但有可能在更复杂更高或更深层次上更有前途。这可是一种螺环的思维啊！线式思维便于大步“前进”，因而“发展”和“进步”成了现代化的主旋律。圈式、螺环思维看似“原地转圈”不前，实际上可能进入另一世界，就像通过宇宙学中的虫孔（wormholes）捷径超光速穿越时空一样。总结一下，极而言之，

当代西方文化是线式文化，传统中国文化是圈式文化。

梁漱溟等大师认为，西方文化是当前的文化，而东方文化代表着未来。照我上面所说的，这些观点就不奇怪了，至少提供了一个视角。不过我认为，东西方文化将兼在共荣，并驾齐驱，而不是东方文化取代西方文化。

学：您是怎么想到说中国的思维方式是圆圈式的？

李：这得益于《易经·系辞》所说的“蓍之德，圆而神”的启发，虽然它的字面原意是指占卜用蓍草功德圆满而通神。有一天，我突然由这段话联想到东西方思维之别。注意，黑格尔的循环发展主要是指概念的发展、事物的运动，而不是思维模式。何况，他的发展是指或者螺旋上升，或者从圆心开始，像年轮一样，一层套一层，有别于我所说的圈环、循环。

学：为什么圈环能产生飞跃，带来质变呢？

李：这个问题很深刻，值得研究。我觉得，有些也许可以从辩证法的基本法则之一——“量变造成质变”来解释。我们说的圈环其实都包含大量的循环往复运动，每一次循环都带来量变，为数众多的循环就带来大量量变的积累，所以产生飞跃和质变。混沌就是这么一个典型的例子。另一些或许可以从数学归纳法这一类的递归推理来理解，其中浓缩了无穷多个简单推理。循环之妙还在于：正反馈式的循环是无穷之母，而负反馈式的循环是动态平衡和稳定的主要源泉。

教：您说的这些，真是闻所未闻、匪夷所思，让我们大开眼界。这都是您自己想到的吗？

李：是我独立思考所得，也许有些是首创，但不会都是首创。

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