大将军的数学题2-及答案

1. ==== 书有多少页 ====

一本书有N页厚。书的页数是从1 到N。所知道的是，所有的页数总共用了1095个数码字。请问这本书有多少页？

答案：401页

解释：有9页个位数的书页，每页用一个数码字。90页两位数的书页，每页用2个数码字。首先假设没有四位数的书页，而三位数书页的数目为x。因为总共用了1095个数字，所以列出x的方程：9+2*90+3*x=1095。解出x=302，总的书页数=302+9+90=401

2. ==== 导火索 ====

有两根导火索，它们的长度都是正好1分钟烧完。但是它们燃烧的速度是不均匀的。也就是说，你不能用一小段的长度与总长度的比值来确定燃烧完这一小段的时间。

用这两根导火索和一只打火机，没有其它计时器的帮助，请你给我报告两次时间信号：开始的时间t1、结束的时间t2。时间t1和t2准确地相差45秒。

答案：将其中一根的两头，以及另一根的一头，同时点燃，这个时刻定为t1。当第一根烧完时，立即后点燃第二根的另一端，第二根烧完的时刻便是t2。

解释，见下图：第一根两头点燃，直到烧完，时间是30秒。这时第二根也烧了30秒，因第二根只点了一端，因而只烧完了一半时间，剩下的部分还能烧30秒，这时马上点燃它的另一端，变成从两头同时烧，因而烧完的时间是15 秒，加上开始的30秒，总共历时45秒。

3. ==== 计时沙漏 ====

沙漏（hourglass）是最早使用的计时仪器之一。如下图（a）中所示的沙漏，是上下对称的，可以倒来倒去地计时。比如说，如果有一个2分钟的沙漏，你便可以漏一次得到2分钟，漏完后立即倒过来，再漏完，总共得到4分钟的时间。

现在，给你一个4分钟的沙漏，和一个7分钟的沙漏，它们都是可以倒来倒去的对称沙漏。如何将它们配合使用，才能得到准确的、从开始到结束总共9分钟的时间？

用图形，我们可以更方便地说明这个问题。一个沙漏某时刻的状态可以用上下重叠的两个带数字的方格表示，例如，上图（b）所表示的是7分钟沙漏的初始状态和漏了2分钟后的状态。上图中的（c）则是要请你回答的问题。

答案：

解释：

设7分钟的沙漏为A，4分钟的为B，

A，B同时漏， 4分钟后， 状态为 （A ： 3，4）；（ B：0，4）；

B倒过来， 3分钟A漏完全后， 状态为（A ： 0，7）； （B：1，3）；

A倒过来， 1分钟B漏完全后， 状态为（A ： 1，6）； （B：0，4），

A倒过来, 1分钟后， 状态为（A ： 0，7）；

4. ==== 测量砖头的对角线=====

这是一个有趣的的有切实可行解决办法的几何问题：

单凭三个砖块和一把尺子，不使用任何公式，怎样才能测量一个砖头的立体对角线？就是穿过砖头内部的那条对角线。

答案：将三块砖头如图迭起来，就可测量。

5. ==== 方格子=====

有一张8×8=64个格子的格子纸，右上角和左下角各被剪去一格，如图左所示：

女儿有31张长方形的卡片（中图），每张刚好是两个格子。女儿想：剪掉了两个角的格子纸面积和31张卡片总面积一样大，因此，她想用卡片作拼图，把格子纸盖起来，但她拼来拼去都不成功，你能帮帮她吗？或者……

答案：不可能覆盖起来。

解释：不是面积相等就能覆盖的！女儿难不倒将军。不过，8岁的女儿不懂高深的数学，将军想了一个巧妙的方法解释给她听。他将8×8的格子纸涂成黑白相间的国际象棋棋盘（下左图），又举了2×2方格纸剪去两角为例。看下面右图，剪去的两个小方块都是黑色的，剩下两个白方块处于对角的位置，怎么可能被一个黑白的卡片覆盖呢？图中一目了然，小女儿很快就明白了。

6. ==== 电路=====

12个电阻连成一个正立方体，正方体的每一条棱上有一个1欧姆的电阻，请你求出A和E之间的等效电阻。

答案：5/6。

解释：

解此题的巧妙之处是在于利用对称性，和电学的一丁点儿基础概念，否则……

见下左图，三个红点的电位应该相同，三个绿点的电位也应该相同。电位相同的点等效于连在一起。

下图中，左、右的电路是互相等效的，因此：R = 1/3 + 1/6 + 1/3，R = 5/6。

7. 附加题 ==== 老鼠和毒药=====

有100只一模一样的瓶子，编号1-100。其中99瓶是水，一瓶是看起来像水的毒药。只要老鼠喝下一小口毒药，一天后则死亡。现在，你有7只老鼠和一天的时间，如何检验出哪个号码瓶子里是毒药？

答案：

首先，将瓶子的10进制编号数改成7位的2进制码。然后，让第1只老鼠喝所有2进制码第1位是1的瓶子中的水；让第2只老鼠喝所有2进制码第2位是1的瓶子中的水；以此类推下去。这样，每个老鼠第二天的死活情况就决定了毒水瓶子二进制码这一位的数字：老鼠死，对应1，反之为0。