【科普】湍流扩散-1：湍流运动的难题

在蒋迅2013年1月精彩的【数学都知道】博文下面，我注上了有数学不知道的问题，比如湍流流动。但也可能是物理模型出了问题。

湍流流动之所以没有办法得到理论解决，是因为其运动方程的“封闭性(Closure)问题”，是指湍流运动方程组含的方程个数永远少于需要求解的因变量的个数。

最简单的流体运动（不可压缩，线性粘性）可以用“纳维叶-斯托克斯方程”或“N-S方程”来描述，含一个连续性方程（质量守恒）和x、y、z三个方向上的运动方程（动量守恒）。自变量是（t, x, y, z），四个因变量是压强P, 速度的三个分量u, v, w。四个方程对应四个因变量，方程是封闭的，原则上“数学都知道”，虽然难，但可以解。

但湍流不同了：湍流里因变量都是随机变动的，我们必须解出描述随机运动的各个平均量和描述脉动的高阶统计量。

通常通过时间平均（时均）的形式推导出平均流速的方程（雷诺方程），但新方程出现了9个二阶速度相关函数（每个随机速度都含脉动部分，三个速度方向各自的脉动部分可以分别自相关和互相相关，因此导致9个二阶速度相关函数），这些“相关函数”是新出现的未知因变量。因此：经过“时均”后，雷诺方程组也是四个方程（时均后的连续性方程形式基本相同，同时保持x，y，z三个方向的时均后的动量方程）。毛病是这三个方向的动量方程经过“时均”后各自出现3个“二阶速度相关函数”（3´3共9个 ~ 是一个二阶张量）。因此雷诺方程组的因变量是 4 + 9 = 13个！这样，从理论上说，4个方程是不能得到13个因变量的解答的！

为了解决这个困难，前人试图通过构筑新的方程来求解“二阶速度相关函数”。但是，通过努力发现，构造的新方程里出现了更多的“三阶速度相关函数“，。。。依此后推，越是构建新的方程，出现越多新的高阶相关函数。。。永无休止。

数学中讨论无穷级数时，会讨论其是否收敛，收敛条件等。湍流问题中，即使是最理想的“平稳、均匀”不可压缩牛顿流体湍流，也无法讨论其相关函数到高阶时，是否逐步减小，及至收敛。

因此，从理论上说，湍流运动方程是不封闭的，“数学不知道”湍流运动的解。

目前工程问题中关于湍流，都用“湍流模型”的办法。但这些模型并没有严格证明，而是粗糙、硬性的“斩断”近似（Truncation）。即不加证明地假设高阶项都不重要，只留下低阶项，并引进几个系数，因此把方程封闭。例如 k~e方程就是二阶近似方程。湍流问题太复杂，很少见到三阶或更高阶的湍流模型。实际工作中重要的是根据对象和条件的具体情况，选择模型、确定和检查系数。

说可能是“物理模型”问题是指，常见湍流运动的雷诺方程和上面解释的困难，都立足于“欧拉形式”的N-S方程。拉格朗日形式的方程也许会有不同。

欧拉形式中，流动的物理量：流速、加速度、能量和压强等，均以固定空间坐标（x, y, z）来定义。符合实验室测定的实际情况，数学中场论来解决相关问题。

然而，欧拉形式的描述方法在物理意义上是有问题的：流动中的流速、加速度、能量、应力应变。。都是针对流体质点（微团）而言的。在空间点上测得的物理量是刚好在该时刻流经该点的流体质点所带有。下一时刻在同一空间点上测得的物理量，一般说来就不是前一时刻那个流体质点所带有了。

拉格朗日的描述方法类似于理论力学的刚体运动：假设充满流场的流体以可以标记的流体质点组成，然后追踪其带有的各个物理量。

所以说流体的流动实质是拉格朗日的，但我们习惯用欧拉形式来描述它。在数学上，因此带来了N-S方程的非线性（运动方程的惯性项的出现，就是因为要考虑不同时刻流经同一空间点的流体质点不同，因此增加的“迁移”加速度）。

上世纪七十和八十年代曾有努力构建拉格朗日形式的N-S方程，研究湍流运动方程的封闭性问题。这时自变量就不再是（t, x, y, z），而是（t, x, y, z; t0, X, Y, Z），即在起始时刻t0占据空间点（X, Y, Z）的流体质点在当前时刻t 和恰好出现在空间位置（x, y, z）时带有的物理量了。这种研究方式假设一开始充满流体的流体质点都能进行“标记”，以后又互不掺混（后面这个假设显然问题多多）。但是在流动过程中，追踪一个或几个流体质点也许可能，追踪一大堆就难了，因为标记的流体质点各有轨迹，这些轨迹应当会发生交叉等等问题。。。。可以想象，因此列出的方程和推导的公式是越来越复杂，直至难以忍受。。。~~ 目前还没有解决问题。

但是，追踪一个或两个流体质点的运动是有可能的，这就和湍流扩散问题联系起来了。层流和湍流都可以有扩散过程，但湍流扩散的强弱是由湍流的强度决定的，因此是流动的性质。分子扩散的强弱是由分子本身热运动的能力决定的，因此是流体的性质。分子扩散系数可以查手册找到，但湍流扩散系数必定和湍流动能~二阶速度相关函数相关联。

大气扩散中的拉格朗日轨迹模式和欧拉网格模式就对应上述流体力学中两种不同的描述方法。

湍流扩散的最早研究文章是G. I. Taylor的，发表于1921年。

G. I. Tayor 1921, Diffusion by continuous movements, Proceedings of London Mathematical Society, Series A, Vol 20, 196-212