《相对论---破解一道小学数学题》的补记

鲍海飞 2013-1-7

在《相对论---破解一道小学数学题》中，众多博友给了留言和算法及讨论，在此表示非常感谢。针对留言及提出的问题，有一些感想和体会及一些网友的真知灼见，列于下。其一，是该数学问题的本身，是否适合小学生来做；其二，是在问题论述中有一些概念似乎描述的不清楚；其三，是思维定势问题；其四，是否有简单的算法来解这道题目。这道题的原题我也没有去寻找，因为觉得没有什么必要。现就上述几个问题谈谈一点感想或感受，及该题的最新研究进展。

至于问题一，是否适合小学生来做？当然这涉及到整个教育问题了。很难一句、两句话说得清楚。但是，我们还是应该思考一下：教育本身是揠苗助长还是循序渐进？是大众教育、还是精英教育？是填鸭式还是启发式？是全民的普通教育还是全民的奥数教育？听过一个报告，就说到奥数。做报告的老师讲解得很有趣，大致意思是说，做奥数的那些同学，一看到题目的答案，就一拍脑袋，‘哎，原来是这么回事，我真笨”。当又继续下一道题的时候，再一看答案，然后，又一拍脑袋，‘哎，原来是这么回事，我真笨”。原来，奥数就是让人觉得’我是个真笨的人’。大意如此。

至于问题二，涉及到问题论述中概念的严密性问题。这到真是个问题，比如，距离，里程和位移。在物理学中，位移是个矢量，有方向和大小；距离，则与此相近，但一般描述为两个点之间的长度；而里程，也与距离相关。相对来说，里程与距离是两个略微模糊的量。因此，这三个概念看似相近，但在具体环境中一定要描述清楚；混淆了，就容易导致不同的结果，造成误解和错解。科学的术语不同于日常生活中的俗语，因此，在表述中能准确的就一定要准确，能精确的就一定要精确。

另外一个就是要给出问题的假定和前提，如果没有条件约束，那么一切就都是空谈，比如是否是匀速运动，是否同时出发等严格条件的限制。对于一个简单的问题尚且如此，那么当对待一个复杂的问题时，其逻辑和论述的难度就更容易显见。

至于问题三，涉及到思维定势的问题，这是个很有趣的问题，是个仁者见仁智者见智的问题。尤其涉及到思维的固定模式的问题。针对一个问题，有时候我们只局限于一个很狭小的思维框架内去思考。想起以前有个有趣的问题，是说一个老师在给学生讲完了高度与大气密度的关系后，留了道作业题，让学生去计算一幢大楼的高度。很明显老师的意图是想让学生利用刚学到的气体压强和高度的变化关系去求解。结果，当老师把学生的答案收集上来一看，学生的答案五花八门。有人说到楼上扔下一块石头，测量落地时间，然后利用s=1*g*t*t/2（s是高度，t是时间，g是重力加速度）来计算;有人说带根绳子到楼上，然后放下绳子就知道结果了；还有人说测量一下我上楼的速度，然后再测量一下我走到楼上的时间，就知道答案了。因此，有一些人偏偏‘不走正路’，就不用这个现成的压强与高度的关系公式来计算(p=d*g*h,p为压强，d为空气密度，h为高度，p为一定高度的气体压强)。因此，针对同一个问题，我们看到‘它山之石是可以攻玉’的。

至于第四点，我认为也是最重要的一点，就是有没有更简洁、更方便、更直观的算法来解决这个看似简单的问题；或者在思考上有什么突破口，这一点与观点三相类似。

再简单回顾这道题目，其大意是：一列队伍长一百米，以匀速度向前行驶。在队伍最后，有另外一个人，以较快的匀速度沿着同样的方向前进，当这个人走到队伍的最前头的时候，返回身来再往回走，再走到队伍的最后，这时，整列队伍恰好向前行走了100米。提问：单独的这个人往返一共走了多少路程？

在上文中给出了解法(1)---经典解法：路程与时间的关系方程，以及解法二---相对论的解法：利用相对速度变化的方程。之后，博主张木诚老师给出了更为直接的解法，我称此法为：几何比例法。张木诚老师的描述大致如下：‘设这人回头时队伍走了x米，则他走了100+2x米，并有方程：

   (100+x)/x=(100+2x)/100,

由此可得100/x=2x/100=x/50,解这个方程即可。因为是匀速运动，路程之比是常数，这人走了100+x米时队伍走了x米，他走了100+2x米时队伍走了100米，所以有上面的方程。’

针对此结果，我的同事又从美学的角度给出了另外一个恒等式:

(100+x)/x=x/(100-x)

至此，对此问题的解决来说，已从不同的角度来认识和分析了，但依然期待更多的答案。

学术上的这种百花齐放百家争鸣是多么重要，又是多么富有启发！