第三章：分数维是怎么回事？

 

了解了更多分形的知识之后，三个好朋友：张三、李四、王二，又凑到了一块儿，返回去思考和探索第一章留下的问题：分数维到底是怎么回事呢？

 

张三说，在经典几何中，是用拓扑的方法来定义“维数”的 ，也就是说，空间的”维数”等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目：比如，所谓我们生活在‘三维空间’，是因为我们需要三个数值：经度、纬度、和高度，来确定我们在空间的位置。对于一个二维空间，比如在地球这个球面上，则需要两个数值来确定一个物体的位置。当我们开车行驶在某一条高速公路上，汽车的位置只需要用一个数：出口的序号数，就能表示了，这是一维空间的例子。

 

拓扑“维数”概念的扩展，要归功于德国数学家费利克斯•豪斯多夫（F.Hausdorff，1868-1942）。豪斯多夫在1919年给出了维数新定义，为维数的非整化提供了理论基础。

 

“豪斯多夫！我读过他的故事。他后来是自杀的……”王二在三个朋友中年纪最小，急不可耐地插了几句。

 

豪斯多夫是拓扑学的创始人。第二次世界大战开始后，纳粹当权，豪斯多夫是犹太人，但他认为自己做的是纯数学，在德国已经是令人敬重的大教授，应该可以免遭迫害。但是事非所愿，他未能逃脱被送进集中营的命运。他的数学​​研究，也被指责为属于犹太人的、非德国的无用之物。 1942年，他与妻子一起服毒自尽。

 

不等王二说完，李四便抢着接下去：“这是科学家不懂政治的悲剧。我们还是回到豪斯多夫的数学。张三说得一点没错，因为‘变量的数目’不可能是一个分数，因此，按照这种拓扑方法定义的”维数”，当然只能是整数喽！但是，分形的维数是用另一种方式定义的……”

 

李四说，其实，在‘分形’这个名字中，就已经包含了‘分数维数’的玄机。众所周知，经典几何学中，有1维的线、2维的面、3维的体。三维以内，有现实物理世界的物体对应，容易理解，维数大于三的时候，就需要应用一点想象力了，比如加上了时间的四维空间等。但是不管怎么样，经典几何的‘维数’总是一个整数，将经典的三维空间扩展想象一下，一维一维地加上去就可以了。而分形几何中的‘维数’，却包含了‘分数维’在内，这也就是‘分形’名称的来源。

 

“如何定义和理解分数维呢？首先，让我举几个例子，慢慢解释给你们听！” 李四洋洋得意地看着两个师弟说。李四学的是物理，并且已经是大学四年级的学生，比两个朋友多读了几年书，讲起课来头头是道。

 

在分形几何中，我们将拓扑方法定义的‘维数’，扩展成用与自相似性有关的度量方法定义的‘维数’。第一章中我们不是已经介绍过花菜的结构和分形龙的‘自相似性’吗。其实，经典整数维的几何图形，诸如一条线段、一个长方形、一个立方体，也具有这种‘自相似性’，只不过，它们的‘自相似性’太平凡而不起眼，被人忽略了而已。

 

王二眨巴着大眼睛，不甚明白的模样：“你的意思是说：线、面、体……这些我们常见的整数维几何形状，也算是分形？”

 

“当然，也应该是这样嘛。就像实数中包括了整数一样，扩展了的分形维数定义当然也包括了整数维在内。你听我先解释一下如何用‘自相似性’来定义‘维数’吧……”

 

根据‘自相似性’ 的粗浅定义：“一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的，大小不一的部分组成的”，我们来观察普通整数维图形的‘度量维数’。

 

比如说，如图（3.1）所示：（a）一条线段是由两个与原线段线段相似，长度一半的线段接成的；（b）一个长方形，可以被对称地剪成四个小长方形，每一个都与原长方形相似。也就是说，长方形自身可以看成是由4个与自己相似的，大小为四分之一的部分组成的；（c）一个立方体，则可以看成是由8个大小为八分之一的小立方体组成的。

图（3.1）：用度量方法定义的‘维数’

 

仍然利用上面的图，用自相似性来定义的‘维数’可以如此简单而直观地理解：首先将图形按照（N: 1）的比例缩小，然后，如果原来的图形 可以由（M）个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的‘维数’d ，也叫豪斯多夫維数，就等于：

 

d  =  ln(M)/ln(N)                                     （3.1）

 

不难看出，将上述方法用来分析直线、平面、空间，分别得到d = 1、2、3。见图（3.1）中的a、b、c。

现在，我们可以用同样的方法来分析科赫曲线的维数，就像图（3.1）中的（d）所示：首先，将科赫曲线的尺寸缩小至原来的三分之一；然后，用四个这样的‘小科赫曲线’，便能构成与原来一模一样的科赫曲线。因此，根据公式（3.1），我们得到科赫曲线的维数d = ln(4)/ln(3) = 1.2618..。这就说明了，科赫曲线的维数不是一个整数，而是一个小数，或分数……

“等一等，我想用这个公式算算我这儿这个分形的维数……”张三一边用笔在本子上画着什么，一边说。

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