【文清慧注：这篇是作者薛问天先生2012.8.5投给评论园地的文章。下面是全文。】

在我7.31的文章“应正确理解Löwenheim –Skolem定理，由它得不出实数集可数的结论” 发布后，“反对伊战”回应说：我并没有说实数集可数，我原文说的是“实数集可以是可数集”。

即使说的是“实数集可以是可数集” 这个结论作为DLS定理的一个特例也是错的，也是对LS定理的误解。

问题不在于这个结论中说的是“…是可数集”还是“…可以是可数集”, 关键在于主语，你说的是“实数集可以是可数集”，而作为DLS定理的一个特例，应该是“实数的一阶理论的模型有可数集”。要知道实数的一阶理论的模型和实数集合是两个不同的概念。

实际上，LS定理说得更具体，实数的一阶理论的可数模型是实数集合的基本子结构，即实数集合的一个可数稠密子集（a countable dense subset）。换言之，作为实数的一阶理论的那个可数模型是实数集合的一个子集。说的不是实数集合本身可数，而是实数集合的一个子集可数。另外，那些基数比实数基数大的模型，例如超实数（hyperreal numbers）集合等，都是实数集合的基本扩展。

我另画了一张示意图，应当比上次那张图看得更清楚，各模型之间应当是互为子集和扩展的关系。

 

 

作为DLS定理特例的结论，如果说成是“实数的一阶理论的模型可以是可数的”就对了，不过这里说“可以是可数的”还有些弱，应说“必定有可数的”。或者说“实数集合的一个子集，作为实数的一阶理论的模型，是可数的”也是对的。但这可能又不是你想说的。

注意，我们这里说的是实数的一阶理论。要知道只采用一阶语言不可能刻画实数集的全部理论。例如，实数集的上确界公理用到了实数集的子集，就必须用二阶逻辑才能陈述。

如果我们不限制在LS定理和一阶理论的范围内，一般来讲，“实数集”和“实数理论（如二阶理论）的模型”这两个概念能否统一呢？可以证明，如果实数理论包括了域、全序和戴德金完备全部这些公理，这个理论的所有模型就都是同构的了。也就是说，这个理论的所有模型在同构的意义下是唯一的。这就是上篇文章中说的categorical。这时你就可以把实数理论的模型和实数集合这两个概念统一起来。同一理论的所有模型都同构。同构自然可以建立一一对应关系即等势，一个模型可数，其它也必然可数。然而这时LS定理却失效了，得不出一定存在有可数模型的结论。

对于L S定理以及由它能得出怎样的结论，每个人都可以有自己不同的理解。不过有的是正确的，有的是错误的即所谓误解。我们的目的正如标题所说，是要力求正确理解LS定理，纠正错误的理解。比如，一种理解说是，从first-order logic的角度看，任何无穷集，可以被看作可数无穷集。

显然这样的理解是不对的。如上面的分析，LS定理所说的不是无穷集本身可以被看作可数无穷集，而是以此无穷集为模型的一阶理论有可数无穷的模型，此模型是原无穷集的子集。

我猜想他的推理过程可能是这样。他认为理论的模型是唯一的（同构的），所以当以某无穷集为模型的理论有可数的模型时，就推出这个无穷集也是可数的，或者含糊地说它可以是可数的。错误在于第一个论断来自高阶逻辑的categorical理论，第二个论断来自一阶理论的LS定理。这两者并不兼容，从而产生了错误。

对LS定理的论断应当这样理解：具有无穷模型的一阶理论存在有可数的模型。或者更全面一点说：具有无穷模型的一阶理论存在有任意无穷基数的模型，而且这些模型互为子集和扩展。

当然，我们前面说的是传统意义下的实数集，是包括全部无穷小数（包括有穷小数）的实数集，是完备有序域（The complete ordered field）的实数集。至于在某些人的讨论中，此实数集非彼实数集，把实数集的概念换成另外的定义，那就是另外一回事，超出了我们今天所讨论的对LS定理的理解问题，需要另当别论。

 

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