流体中布朗运动和扩散过程等复杂运动能用流体基本运动方程的精确解描述吗?

此问题与著名的千禧年大奖数学问题(Millennium Prize Problems)密切相关。 2000年5月24日，美国的 Clay Mathematical Institute 发布了7个千禧年大奖问题。其中之一是关于Navier-Stokes方程。Clay Institute 在其网页上用简短生动的语言介绍了这一问题

Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and physicists believe that an explanation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although these equations were written down in 19th Century, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make substantial progress toward a mathematical theory which will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations.

中文译文（摘自中国科技网关于千禧年数学问题的介绍）: 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维尔－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

显然，探索此问题的一个尝试就是对Navier-Stokes方程最简单的形式，即无粘性的Euler方程，研究是否存在可描述流体某些复杂运动的精确解。

其实，在近三十年一些研究者已找到了某些可描写复杂流体运动的精确解，例如文献[1]，[2]，[3]中所给出的。不过这些解都要求Euler方程中的外力必须有对应的复杂且非自然（指不是由位势的负梯度形成）的形式, 也就是说这些解所描述的复杂运动是由复杂且非自然的外力所驱动的。因此，这些解还不够令人满意。

2006年-2008年我和我的研究生于威威、刘明惠也探索了相关问题。我们用于威威提出的“伪势”方法求出了平面上Euler方程的一类精确解，该解容许任意给定两个函数和三个任意参数，而且不需要Euler方程包含驱动该解的特殊外力（外力可以是零，或任何自然界普遍存在的有势力)。用KAM理论及Melnikov函数法，证明了其中某些精确解可以描述相应流体质点的布朗运动及流体不同部分间的相互扩散（渗透）过程。这是对确定性系统中混沌现象的一种精确描述。在我的科学网博客文章《由自然与美谈起》（86-89页）中可找到该精确解的形式及有关证明思路的介绍，精确解及Melnikov函数也可在所附的pdf文件《Main Mathematical Formulae》中找到。

Main Mathematical Formulae.pdf

为显示该解描述的流体复杂运动, 这里给出一个动画（点击动画的链接可观看），它是用Wolfram公司的《Mathematica》软件完成的。动画描述初始时刻均匀分布在4个小圆圈上40000个流体质点（每个小圈上的质点染上同一种颜色，4个小圈颜色不同）按精确解的运动情况，它显示出4个小圈随其上流体质点运动的变形过程及不同圈上的质点相互扩散（渗透）的复杂运动过程。

有趣的是，严格的理论可以证明：如果这4个小圈都是由无穷多个流体质点构成的连续曲线，质点都按精确解运动，那么运动中小圈可以变形，但所围的面积不变，而且连续的小圈之间不可能交叉产生真正的相互穿透（渗透）。但实际的流体中质点是离散的，不能构成真正连续的小圈，当小圈的曲线被据烈拉长变形时，有限个质点形成的曲线的“连续形象”会被明显破坏，正如动画所显示的，这时会发生真正的扩散或相互渗透。

还需指出，动画所用的精确解中的速度分布，对时间、对平面的x,y坐标都是周期分布的。通过计算可发现速度分布对时间与空间的平均值为零，而速度平方的平均值则大于零（只要运动存在）。不难想象，速度平方的平均值越大所描写的流体的复杂运动也越强烈。假设从宏观上看速度分布对时间及对x,y坐标的周期很小，此时这一精确解可以看作是宏观上静止却有温度的水的一个模型，其中水温正比于速度平方的平均值。

参考文献
[1] T.H.Solomon and J.P. Gollub, Chaotic particle transport in time-dependent Rayleigh-Benard convection , Physical Review A. Vol.38 No. 12, (1988) 6280-6286
[2] S. Wiggins, The dynamical systems approach to Lagrangian transport in oceanic flows, Annu. Rev. Fluid Mech. 37, (2005) 295–328.
[3] N. Malhotra and S. Wiggins, Geometric Structures, Lobe Dynamics, and Lagrangian Transport in Flows with Aperiodic Time-Dependence, with Applications to Rossby Wave Flow,J. Nonlinear Sci. Vol. 8: pp. 401–456 (1998)





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