令θ=-45^o， 它顺时针旋转，就转回XOY 平面，中学数学中有坐标变换公式：

            x'=xcos(-45 ^o)-ysin(-45 ^o)，

            y'=xsin(-45 ^o)+ycos(-45 ^o)；

下面讲核函数概念还要用到它，现在暂且按下不表。

    坐标变换与核函数  聚类可以表现为在簇周围画一条紧边界。考察图2右边的紫色扇面簇，在直角坐标系中的描述稍复杂一些，但在极坐标中却很简单。 坐标变换公式是：

           f(x,y)=r=x²+y²  ，

              g(x, y)=θ=ArcSin(y/(x²+y²)^(1/2) )

    坐标变换后，扇面变成<r, θ>平面上的矩形，例如，{ { （r, θ）|1≤r≤2 , 45 ^o ≤θ< 90 ^o }是一个扇面。在XOY平面，扇面边界是非线性的，在<r, θ>平面上，边界却是直线段！

    又例如， { （r, θ）|0≤r≤1 , 0≤θ< 360 ^o } 描述了图2（2）中的那个白色的园核。

    于是，我们有理由称  f(x,y)， g(x, y)为核函数或类核函数 ，可以这样来理解名称中的“核”字 ：

    （1）如果把图2右边看成是染色的青核桃， f(x,y) ≤1所描述的正好是中间哪个白色的核。

    （2） 图2左边的坐标变换中类核函数是f(x,y)=x’= xcos(-45 ^o)-ysin(-45 ^o) , g(x,y)= y’=xsin(-45 ^o)+ycos(-45 ^o) 。 设a,b为常数， X’=a, 是一条直线，也是一个同乡簇的中心线；   Y’=b, 是一条直线,  是一个同学簇的中心线； 点 (X', Y')=(a,b) 是一个点，是同乡兼同学簇 的中心点；中心线与中心点都与“核”概念相关，这也提示了选择和设计核函数的思路，设法引入曲线坐标系，综合考虑坐标曲线簇与对象簇中心线、以及簇的边界的联系，设法联系原点与重要簇的中心，则核函数选择就有线索了。

    核函数(Kernal function) 是个较难懂的概念，在分类的支持向量机SVM技术中也要用到。这里斗胆对核函数做了一个直观解释，有点反传统，未提及在对应的高维空间中的线性可分性，仅供辅助理解，科普不能代替严格的数学定义和证明，如有不妥，请专家指正。

    多样化的距离,海内存知己，天涯若比邻 设描述人的维度有（x,y,z,t, 籍贯，感情，信仰，…..）。设人与人的距离为d，

     （1）把d定义为在籍贯维上投影的差别，得到的簇是同乡;

     （2）把d定义为在信仰维上投影的差别，得到的簇是同志。

     （3）把d定义为在感情维上投影的差别，得到的簇是朋友。

    如果两个人在信仰和感情上的投影一致，哪怕x,y,z,t有巨大的时空差别，也心心相印，这就是“海内存知己，天涯若比邻”的数学描述或解释，天涯和比邻描述的是在不同维度上的距离。

    正邪两方都会用科学规律，二战时，德日意三国的欧式空间距离不小，却聚成了一个反人类集团，是在政治和利益两个维度上的投影相近。

     Minkovski-距离 p维空间中两点的Minkovski -距离

    当q=1，结果为各维度上差别之和 ,又称为曼哈顿距离.说的是，城市曼哈顿以方格子路为特色，（似乎济南老城区经纬路那一块也类似），从（x₁，y₁)到 (x₂, y₂)，有若干条最短路径，虽然转弯的次数不同，但长度都是|x₁-x₂|+|y₁-y₂}。

    当q=2；是最普通的欧式空间距离。实践中，有时为夸大距离，采用q=3；有时为了缩小差别，可用q=3/2,等等。

    但是，一旦人们在聚类之初选择了距离类型，或多或少地加入了主观干预，极大地干预了最后结果，例如，如上面所述，选择不同的距离定义，似乎开始的差别不大，但可导致结果分别是同乡和同志，这两个概念差之千里，同乡不一定是同志，蒋介石的奉化同乡中也有坚定的共产党员。

    笔者以为，如果距离的类型也是挖掘出来的，而不是主观指定的，那才真的是“无监督”，或者，从分布熵的角度，避开距离来解决聚类，这方面也许还有许多工作，可供处于选题饥饿的博士生做。