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实数集有许多优良的性质,进而其为数学分析提供可靠的基础。实数列若存在极限,则极限一定是单一的,即其对待趋势性问题一向是比较专一的;实数列若单调有界,即只要其有上进心并且贪欲有限的时候,则其一定会有个归宿的。如果我们人类对待事和人专一并且别有那么大的野心,则在趋势性问题上也一定会有个良好的归宿。若其有归宿则其的各个方面也应该是有归宿的,同时任何能力有限的人,至少在某方面能力是有限的。在实数集合中任一有界的无限集合,则其中至少某点附近存在无限个数。
在实数集合中其数列收敛的条件是此数列为柯西列,即随着数列下标的增大,以后的任何数差值可以小于预定的任何数;在此可以这样说,实数集合中的收敛数列和柯西列是等价的,其是实数集合中的特有的性质,如对有理数集合就不在适用。一般把一个集合中的任意柯西列都收敛于此集合的元素,看做此集合是完备的,故实数集合是完备的且是可分的,即可以分出一个稠密子集,若采取一定的划分,则就可以分为有理数和无理数,而有理数稠密但不完备。即实数中的任一数都可以用有理数去逼近。如果我们在局部上能伸能缩,并且善于迂回逼近该多好啊。
数的最小上界是上确界,一般上确界并不一定在此集合中,但对于实数集合,只要一个集合有上界,则其一定有上确界。确界定理就是客观反映实数集合上没有空隙的性质。人啊,什么时候才能这样完美,不论是在待人接物还是做学问上,让人无可挑剔。如果一个定义在实数集合上的集被一个系列开集族所覆盖,若覆盖集合的所有集族都有有限个基本集构成的集合覆盖了集合,则集合就紧。实际上紧性,完备性以及确界定理在实数集合上其是一致的,都客观的代表了实数集合的专一性和追求完美的优良品质。
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