在欧拉向人们揭示了虚数的重要性之后，仍然有许多人不承认虚数的存在。

正数，可以想象为“个数”或“线段的长度”，而虚数却不能。

尽管重要，没有视觉形象，人们还是难以接受。

当初，欧洲人也曾以同样的理由不承认“负数”的存在。

“-2个苹果”或“-1.3米长的棍棒”，那简直无法想象。

负数的可视化方法是由法国的一位数学家阿贝尔•吉拉尔（1595-1632）发明的。吉拉尔设置一个代表零的原点，用从原点向右方画出的箭矢表示正数，而用反方向画出箭矢表示负数。这样就有了一根表示全部实数的直线——“数轴”。有了这种直观的数轴，欧洲人才逐渐接受了负数的概念。

那么，虚数又该用怎样的图形来表示呢？ 实数中是没有“负数的平方根”的，因此，数轴上不可能有代表虚数的位置。

对于这个难题，当时还是一名不知名的测量员的丹麦人卡斯帕•维塞尔（1745-1818）是这样考虑的：

“既然数轴上没有虚数的位置，那么，也许可以在数轴之外，利用从原点向上画出箭矢来表示虚数”。

结果，赛维尔的想法大获成功。在数轴上添加一根向上延伸的直线以后，得到了一个有两根坐标轴的平面。此平面上的水平轴代表实数，另一根通过原点的垂直轴代表虚数。用这种方法作图，使得包含有虚数的计算也可以通过作图来进行了。虚数终于“被看见了”！

与赛维尔同时，法国的一位会计师让•罗贝尔•阿冈（1768-1822）和德国数学家卡尔•弗里德里克•高斯（1777-1855）各自也都独立想到了这种用图形来表示虚数的方法。他们使虚数能够被直观看到，终于使虚数获得“数”王国公民的身份。

发明了虚数的作图方法，虚数终于成为“数”王国的合法公民

高斯给这种作图平面上每一点所代表的数取了一个专门的名称，叫做“复数”（德文Komplex Zahl）。复数（英文complex number）把实数和虚数都包括在内，实际上是数的一个新概念，其中包含了“多种”（复数个）数的成分。高斯所发明的这种作图平面因而就叫做“复平面”（或“复数平面”）。

小结

通过作图来表示虚数

1. 正实数，“向右的箭矢”

向右画一支具有适当长度的箭矢，将此箭矢定义为“+1”，作为正数的单位。这样就可以用它作标准，作图画出各种正数。

2. 负实数，“向左的箭矢”

设置好代表零的一点，以它作为“原点”，从原点画一支同+1箭矢方向相反的箭矢，将此箭矢定义为“-1”，作为负数的单位。这样就可以用它作标准，作图画出各种负数。这根水平直线叫做“数轴”，可以用来表示一切实数。

3. 虚数，在数轴之“外”

从原点垂直向上画一支同+1或-1箭矢具有相同长度的箭矢，将此箭矢定义为“-1的平方根”，作为虚数的单位（i），这样就可以用它作标准，通过作图来表示各种虚数（如2i, sqrt{3}i等）。

4. 表示复数的“复平面”

实数4和虚数5i相加，答案是“4+5i”。

这个和数无法在实数轴上作图表示，需要有一个实数轴为横轴，以虚数轴为纵轴的平面。在此平面上，“4+5i”这个数可以用实数坐标为4，虚数坐标为5i的平面上的一点来表示。这个平面叫做“复平面”（或者“复数平面”），可以用此复平面上的一个点表示的数就叫做“复数”。复平面又称“高斯平面”（在法国叫做“阿冈图”）。

复数的加法和减法运算

1. 实数的加法运算

实数加法，只需对数轴上的两支箭矢进行求矢量和的操作。

例如，加法（+2）+（-4），将“表示-4的箭矢”连接在“表示+2的箭矢”终端，

矢量相加，得到-2。

2. 复数的加法运算

复数加法，同实数一样，也是“在复平面上对两支箭矢进行求矢量和的操作”。

例如，加法（5+2i）+（1+4i），是将“表示（1+4i）的箭矢”接在“表示（5+2i）的箭矢的终端，矢量相加，得到6+6i

3. 复数的减法运算

在复平面上进行从复数C(如，6+6i)减去复数A（如，5+2i）的运算，只需从A的终端到C的终端画一支箭矢，然后将此箭矢平行移动，使其始点位于原点。它的终点就是减法运算的答案（复数B，1+4i）。