虚数单位i的诞生

卡尔达诺写在他书中的“负数的平方根”并没有立即为其他数学家所接受。

法国的哲学家和数学家莱恩·笛卡尔（1596-1650）断定不可能用图形来表示“负数的平方根”，因而称这种数是“虚构的数”（法文nombre imaginaire），否定它们存在。这就是虚数的英文术语”imaginary number”的词源。日本翻译为“虚数”，来自中文，是中国在19世纪使用的名词。

然而，尽管无法通过作图表示，也有人不顾这种非议在人造研究这种虚数。他就是出生在瑞士的那位赫赫有名的大数学家莱昂哈德·欧拉（1707-1783）。

欧拉以他接触的计算能力揭示出了虚数所具有的重要性质。我们现在把“-1的平方根”即根号-1用作“虚数单位”，并采用“imaginary”的首写字母“i”作为符号，也是欧拉确定下来的。

经过长期研究，欧拉最后得到了一个被誉为“世界上最美的数学式”

即“欧拉等式： e^(iπ)+1=0 ”。

欧拉只用一个公式便将各自具有不同起源的最基本自然数“1”，印度发明的“零”，圆周率“π=3.14…”和自然对数的底“e=2.71…”这四个重要的数，通过“虚数单位i”非常简洁地联系在一起。

小结

“虚数”的意思是“虚构的数”

以“我思，故我在”这句名言而广为人知的法国哲学家莱恩笛卡尔也是最早提出“一切图形问题都可以转换为计算问题”这一论断的数学家。笛卡尔认为负数的平方根是“nombre imaginaire”。笛卡尔否定虚数存在的这种说法就成了“虚数”（imaginary number）的词源。

确定虚数单位i的欧拉

在1748年发现“欧拉公式”的数学家。这是他最先用符号i来代表“-1的平方根”即“sqrt{-1}”。 他先是在1738年右眼失明，后又在1766年变为全盲。然而他以每年平均写出800页论文和著作的惊人速度勤奋写作，而且一生的大半著作都是在全盲的情况下通过口述完成的。

自然对数的底e=2.71

欧拉定义的一个数，被证明是无理数，用符号e代表。这个符号取自他自己名字（Euler）的第一个字母。以e为底的对数ex叫做“自然对数”。

虚数单位i

欧拉定义的虚数单位，代表一个“平方等于-1的数”。虚数单位的实数倍仍然是虚数。

圆周率

π=3.14

用直径除圆周得到的一个数值，被证明是无理数。符号π是欧拉确定的。

最基本的自然数1

最小的自然数。任何数同1相乘，仍然得到原来的数。

因此，1也叫做“乘法单位元”

印度发明的表示“无”的数“0”

在6世纪由印度发明的一个表示“无”的数。任何一个数加上0，仍然得到原来的数。

因此，0也叫做“加法单位元”。

世界上最美的数学式“欧拉等式”

“e^(iπ)=cosx + isinx”被称为欧拉公式。

把这里的x用圆周率π代替，有eiπ=cosπ + isinπ。

此式中cosπ=cos180°=1， sinπ=sin180°=0。

结果有e^(iπ) = -1 + 0i = -1。

这就是欧拉等式“eiπ = -1”

等式两端同时加1，于是得到

e^(iπ) +1= 0 的形式。

这个等式包含了数学上飞船重要的五个数“e”、“π”、“0”、“1”和“i”。

把它们以非常简洁的形式联系在一起。