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存在着没有实数解的“二次方程” —— “实数”的欠缺
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欧洲人在17世纪之前还没有“负数”的概念。
例如像“7-9”这样的运算，就不可能有答案（“无解”）。
不过，进入17世纪，在引入了印度于16世纪发明的数字“零”之后，“7-9”这样的运算就有了等于“-2”的答案。
那以后，实数的四则运算便全都有了实数答案（除了被零除的除法运算之外）。
那么，“数”王国的扩张是否就此作罢呢？ 并非如此。
数王国尽管扩张到了如此大的范围，仍然有许多在实数范围没有答案的问题。
如“相加之和等于10，相乘之积等于40，这是两个什么数？”就属于在实数范围内没有答案的问题。
这个问题相当于“求出满足方程 25-x^2 = 40 的x”。
改写方程，得到“x^2 = -15”。
换句话说，要求找出“平方和等于-15的那个数”。
但是，在实数中没有平方为负数的数。因此，这个问题在实数范围内绝不会有答案。
出现有x^2的方程叫做“二次方程”。
早在公元前约2000年，美索不达米亚人就已经知道了如何求解二次方程的方法。
美索不达米亚人当时还无法处理这种“没有答案”的二次方程。
换句话说，倘若有了“平方为负数的数”，那么任何二次方程便都会有答案（“有解”）。
必须有“平方为负的数”
有4000年历史的“二次方程”
1. 泥板上书写的“二次方程”
在古代美索不达米亚文明遗留下来的一块泥板（编号BM13901）上，记载有如下一个问题：
“有一个正方形，它的面积减去它的一个边长的长度之后为870，试求此正方形的边长”。
这表明，4000年前的美索不达米亚人已经掌握了“求解二次方程的通解公式”和计算方法。
2. 古代美索不达米亚人求解二次方程的方法
美索不达米亚人利用下述关系来求出周长同一个正方形一样的长方形的面积。
“边长为A的正方形的面积为A^2，周长不变，横边增加长度B的长方形的面积为
（A+B)(A-B）。原来的正方形面积同这个长方形面积相比，要大一个边长为B的
正方形的面积B^2。
知道了这个事实，就不难求解二次方程x^2-x=870。
改写方程左端，x^2-x = x(x-1)。
这里x(x-1)相当于“长边为x，短边为x-1的一个长方形的面积”，
而且这个长方形的面积等于870。
由于A+B相当于x，A-B相当于x-1，得出A=x-0.5
这样，就可以把这个长方形看出是“将一个边长为x-0.5的正方形拉长变形，
保持周长不变，而横向增加了长度为0.5的一个长方形”。于是，可立即得到结论：
“边长为x-0.5的一个正方形的面积（x-0.5)^2同上述长方形的面积870相比，
仅大一个(0.5)^2的数值”。
用数学式写出，就是(x-0.5)^2 = 870 + (0.5)^2。
等式两端取正平方根，有x-0.5 = sqrt{870.25} 移项后得 x = 0.5 + sqrt{870.25}
x = 0.5 + 29.5 = 30
小结
求解二次方程的公式
二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的解
x = (-b ± sqrt{b^2 - 4ac}) / 2a
同正方形面积A^2比较，长方形面积（A+B)(A-B)减小了B^2
【注：这是中学数学公式 A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) 的图形解析】
如何知道一个二次方程有解还是无解？
如果查明求解二次方程的公式中根号内的“ b^2 - 4ac ”是正还是负。
“b^2 - 4ac”叫做“判别式”（discriminent)，用符号记作D.
若
D>0，
如 y=x^2-4x+3
D = 4^2-4×1×3 = 16-12 = 4 > 0
有两个实数解；
D=0，
如 y=x^2-4x+4
D = 4^2-4×1×4 = 16-16 = 0
只有一个实数解；
D<0，
如 y=x^2-4x+5
D = 4^2-4×1×5 = 16-20 = -4 < 0
则无实数解。
扩展阅读
https://blog.sciencenet.cn/blog-278395-439105.html
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