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发现“无理数”，最终形成“实数”概念
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公元前6世纪的毕达哥拉斯相信，有理数就是数的全部，现实中不会有用有理数表示不了的任何量。
可是，毕达哥拉斯的这种信念受到了挑战。正是他的一位具有独立思考精神的弟子希帕索斯发现了一个“绝对无法用有理数表示的量”。
这就是隐藏在“正方形对角线”中的那个量。
毕达哥拉斯通过证明得到的“三平方定理”（即“毕达哥拉斯定理”，又叫“勾股定理”）说，一个边长为1的正方形，其对角线长度等于一个“平方等于2的数”，即等于“2的平方根”（
＝1.414…）。然而希帕索斯发现，这个不是有理数。
＝1.414…）。然而希帕索斯发现，这个不是有理数。这一发现否定了毕达哥拉斯的教条，使得他的其他弟子大为惊恐。据传，为了避免向外泄露这一发现，希帕索斯被溺水害死。
像这一不是有理数的数，叫做“无理数”（irrational number）。此外，还有3的平方根（sqrt{3}=1.732…）、5的平方根（sqrt{5}=2.236…）、古希腊使得就已经知道的圆周率（π=3.14…）等，也都是无理数。它们全部都不可能用自然数的分数来表示。
这一不是有理数的数，叫做“无理数”（irrational number）。此外，还有3的平方根（sqrt{3}=1.732…）、5的平方根（sqrt{5}=2.236…）、古希腊使得就已经知道的圆周率（π=3.14…）等，也都是无理数。它们全部都不可能用自然数的分数来表示。对于古希腊人来说，发现有理数是不可思议的，会感到困惑。不过，它们很快就接受了这种数，终于形成了把有理数和无理数都包括在内的“实数”（real number）概念。
和无理数世界1. 镌刻在泥板上的
在4000年前古美索不达米亚文明的一块泥板（YBC7289）上，绘有一个正方形及其对角线。
对角线上戳刻有用楔形文字代表的一个数“1•24•51•10”。
1 + frac{24}{60} + frac{51}{{60}^{2}} + frac{10}{{60}^{3}}
这是一个用60进位法表示的数，改写为10进制数就是1.41421296296…。
这是 的非常精确的近似值（近似到小数点以后的5位）。
的非常精确的近似值（近似到小数点以后的5位）。=1.41421356237… 泥板上同时还戳刻有当正方形边长为30时的对角线长度值，即用60进制表示的数
“42•25•35”，改写为10进制数为“42.4263888…”。
【注释：美国耶鲁大学所藏编号为YBC7289的泥板。正方形的边长为7～8厘米。
考证为公元前２０世纪的文物】
2. 不循环的无限小数＝1.414…
＝1.414… 把改写为小数，结果是没完没了的无限小数，而且，这个小数没有循环部分。
改写为小数，结果是没完没了的无限小数，而且，这个小数没有循环部分。 因此，不是有理数，而是无理数。
不是有理数，而是无理数。3. 古人表示平方根的作图
画一个边长为1的正方形，绘出它的对角线，其长度就是sqrt{2}。
以这个sqrt{2}为底边，画一个高度为1的长方形，绘出它的对角线，其长度就是sqrt{3}。
以这种方式重复作图，使能够得到长度为自然数的平方根1、sqrt{2}、sqrt{3}、sqrt{4}=2、sqrt{5}…等等的线段。
扩展阅读
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