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对“数轴”的抽象改进
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对“数轴”的抽象改进及其应用
目前对数轴的定义
数轴（number axis）规定了唯一的原点（origin），唯一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴。所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点，origin），选取某一长度作为单位长度（unit length），规定直线上向右的方向为正方向（positive direction），就得到右面的数轴。所以原点、单位长度、正方向是数轴的三要素。(以上文字摘自百度百科)
对目前定义的分析
1. 定义数轴的目的是：
a) 借助直观的几何图形(欧氏几何中的直线，下同)，来形象地表示一个数集（实数集，下同）。
2. 定义数轴的办法是：
a) 规定几何图形的原点、方向和单位长度；
b) 用几何图形（直线）上的一个单元（欧氏几何点，下同）来表示数集中的一个单元（实数，下同）。
c) 用“几何图形单元离几何图形的原点的距离”表示“数集中的单元的大小”。
3. 定义数轴的作用是：
可以用几何图形的直观性质来表示数集的非直观性质。包含但不限于如下作用：
a) 几何图形上的图形单元按规定的正方向的排列顺序，就是数集中的单元的大小顺序。
b) 几何图形上的图形单元的直观的连续性（按距离先后顺序邻接）、紧致性（邻接元素之间没有缝隙）表示数集中的数值的非直观的连续性（按大小顺序连接）和紧致性（邻接元素之间没有缝隙）。
由上分析可知：
1. 定义数轴的目的、办法和起到的作用是一致的，符合我们的认识规律的。
2. 以上对“定义数轴的目的、办法和起到的作用”的分析是经过抽象的。抽象的目的是准备进行推广。
对数轴的抽象改进定义
抽象数轴（virtual number axis）规定了唯一的原点（origin），唯一的正方向和唯一的单位长度的几何图形叫抽象数轴。各种数集都可以用具体数轴上的特定的几何图形单元来表示。可以用具体数轴来比较具体数集中的任意两个的数的大小。
以上抽象改进定义对目前的数轴进行了如下抽象的改进：
1. 将目前定义中的“直线”，抽象化为“几何图形”，并且未限制必须是欧氏几何图形。
2. 将“所有的实数”（实数集）抽象化为“各种数集”。
3. 将改进定义的数轴名称叫抽象数轴，而改进前的数轴则为“具体数轴”中的“实数数轴”。
对数轴进行如上抽象改进的目的可以扩展原有数轴定义的覆盖范围，并可以为每种不同的数集建立专门的数轴表示方法，可以扩展和细分“几何图形可视化表达数集”的思想和方法与可期望带来的效果。在丰富我们对数集和空间的理解的同时，可保持对原有的数集和空间的理解的一致性。
抽象数轴的具体应用
按照对目前数轴的抽象分析的模式，对应不同种类的数集进行具体化的应用，采取适当的几何表示办法，就能得到不同种类的数集的具体类型的数轴概念。当然，具体化为实数集的方法，就是目前定义的数轴。以下以非实数集的整数数集、复数数集、逻辑数集为例说明具体的应用方法。
需要指出的是：这种抽象数轴的具体应用，只是“向上兼容”的，也就是，是可以保证在现有实数集具体化的结果与目前数轴定义的结果完全一致的情况下的扩展应用。在扩展应用中，根据不同数集的特点，对应原来在实数集上的相关应用性质，也要做“先抽象再具体化”的处理，不能一刀切直接照搬实数集的概念。直接照搬实数集应用的行为导致的概念混淆是错误应用引起的混淆，和本应用模式无关。
本应用模式不保证对任何数集的扩展应用都是“简易”的。
整数数轴
定义整数数轴的办法是：
1. 选用的几何图形是欧氏几何的直线，规定几何图形的原点、方向和单位长度；
2. 在直线取一点，定义为原点，对应整数0。
3. 取原点沿正方向的一个单位长度的线段为一个单元，该单元不包括原点，包括单位长度到达点。将此单元对应整数1，依次类推，可将整数集对应到直线上的所有单元。
整数数轴图形如下：
使用整数数轴应避免的错误应用：对整数轴上的一个整数和实数轴上的对应实数不加区分。如：实数轴上的1，是实数1，而不是整数1；整数数轴上的1，才是整数1，而不是实数1。
使用整数轴后对整数集的概念得到了如下的丰富：
1. 整数与实数的关系理解更加丰富：以往将整数在实数数轴上进行表示时，只能对应实数为整的位置上的1个点。也就是，一个整数只对应1个“为整的实数”。
2. 整数轴表示的整数，可以包含原有整数的含义在内，并扩展出新的含义：一个整数（0除外），可对应从“该整数对应的为整的实数”与“前一整数对应的为整的实数”之间所有的实数（不包括“前一整数对应的为整的实数”）的集合。
3. 整数集不仅仅是在实数集中对单个实数（为整的实数）的选择子集的表示，而且是对实数集的区间实数子集的压缩表示集。即，整数集意味着：我们是从实数集中选择了一些代表（为整的实数），来表示相关连的一个区间的实数子集。
4. 这样，整数集，就不仅仅是代表对实数集的“离散采样点”集合了，还可以代表对实数的“连续区间压缩表示”的集合。
经过以上语义的丰富，“整数集的连续性和致密性”概念和实数集的“连续性和致密性”概念就能有机的、无缝地过渡统一。就可以彻底消除“连续整数”和“连续实数”之间的“连续”概念之间的鸿沟。（如需要，可另文详述）。
复数数轴
定义复整数数轴的办法是：
1. 选用的几何图形是欧氏几何的平面，规定几何图形的原点、方向和单位长度；
2. 在平面上一点，定义为原点，对应复数0∠0（r∠θ）。
3. 取围绕原点的全部相邻点的所有角度，向离开原点方向为复数数轴的正方向。
4. 取与原点相邻的朝数轴正方向的层层外包的紧密围绕原点的圈点集合代表一组模值（r）相同的复数集合，圈点与原点的连线和水平方向的夹角一一对应该复数集合中的一个复数的幅角。按此规则将复数集中所有的复数对应到平面上的点，得到一个复数数轴。
复数数轴图形如下：
使用复数数轴应避免的错误应用：
1． 将数轴的正向和具体某个复数的幅角朝向的概念不加区分。认为数轴的“唯一方向”只能是笛卡儿坐标系下的欧氏空间的直线指向。这是摆脱不了实数数轴具体概念的束缚，不能完成数轴方向概念的如下抽象理解造成的：数轴的方向只是为了规定全体数集整体的大小方向的作用的，而不是用来描述单个数值本身的属性的。
2． 混淆“两复数相同”和“两复数大小相等”的概念：因为复数有幅角就认为复数不可以比较大小。实际上，复数数轴上清楚表明：复数的大小，就是在数轴上离原点距离的远近，也就是复数的模值大小。大小相等的复数不止一个，而是围绕一个圆周上的无数个复数，都是大小相等的。而只有落在同一点的复数才是相同的。
3． 认为表示数轴的几何图形只能是欧氏空间中的直线。欧氏空间中的平面就不能被用来定义数轴。这还是因为摆脱不了实数数轴具体概念的束缚，不能完成数轴概念的抽象理解所造成。
使用复数数轴带来的概念丰富理解如下：
1． 强化了复数数集与其他数集（实数集，整数集）作为抽象的数集概念的共同性质：可以用几何表示法来表示。表明：复平面不仅仅是一个为了表示复数含义而设立的“代数解析几何平面”，而且可以是“空间解析几何中的一条数轴。”，可以用复数来构造新的空间坐标系。
2． 直观呈现了一个有吸引力的问题可供未来探索：在复数轴上，只有正方向，没有反方向，这是为什么？也就是说：我们对复数的定义，依然存在约束：模不能为负数。如果我们非要试图解开这个约束，会导致什么新的发现吗？意味着在复数数轴的原点处，在“穿透纸面”的另一面，存在对称的图形，不被我们察觉吗？哪个图形如果存在的话，又意味着什么呢？
让我们将复数轴转过90度，并设想以模的实数轴为轴的有“负模复数”的数轴如何？且看：
逻辑数轴
以布尔逻辑数集为例表述。
布尔逻辑数集只包含2个数：{真，假}，用整数表示为：{1，0}。
在语义应用上，还可对应：{有，无}、{是，否}、{赢，输}。
将{1，0} 对应到{阳，阴}；{实，虚}的做法，在语义上是不严格的，应舍弃。
定义布尔逻辑数轴的办法是：
1． 用欧氏空间中的一条直线段来表示全体的布尔逻辑数{0，1}；
2． 原点位置为线段左端点，正方向为另一端点指向，线段的长即为单位长；
3． 从原点到线段另一端点（不包含原点）的所有点的集合为一个单元，对应布尔逻辑数1。
布尔逻辑数轴的图形如下：
类似整数数轴的定义及其应用中要注意的问题是：要区分布尔逻辑数轴上的布尔逻辑数和整数数轴上的整数与实数数轴上的实数的区别和联系。
使用布尔逻辑数轴应避免的错误应用：对布尔逻辑数轴上的一个布尔数和整数数轴上对应的整数以及实数轴上的对应实数不加区分。如：实数轴上的1，是实数1，而不是布尔逻辑数1；整数数轴上的1，是整数1，而也不是布尔逻辑数1。
同样，使用布尔逻辑数轴也带来了对数集概念及其关系的更丰富的理解，如：
1． 按照整数数集的“实数压缩”含义的推广，布尔逻辑数1，不仅仅是代表一个“真”值，还可以代表从0到∞的所有非0实数的集合。因为这个集合中的任何一个元素，都表达了“有”的含义。
2． 布尔逻辑数轴可以清楚地表达：在布尔逻辑数集中，从“无”到“有”之间也是连续紧致的。
3． 布尔逻辑数轴正交可以形成布尔逻辑平面和布尔逻辑空间。如日常表达的两方博弈结果的空间就是一个二维逻辑空间：
1． 从布尔逻辑数轴只有正方向的情况，很容易扩展出对有“负方向”的布尔逻辑的情况，从而扩展出三态逻辑来。
2． 从“实数压缩”原理在复数的虚-实部的推广，又很容易扩展出“复逻辑”（正虚实部压缩）和“三态复逻辑”（正负虚实部压缩）来，假若存在“实模复数”，那么，扩展“复三态逻辑”（正负模的复数的虚实部压缩）来也是不难的。
3． 从“实数压缩”原理的最大限度的使用结果就是得到“逻辑数”的“逻辑化”的事实，可以期待：尝试对所有连续实数的数学规则和原理进行检讨，寻找逻辑化之后的规则和原理的可理解的新面貌，或许就可以发现大量的逻辑学计算原理。
结语：
谨以此文献给不断对我的思想进行严格审查的吴中祥老师。
没有您的，看似无礼、实为“误解+热诚”的紧逼式的追问，就没有此文的诞生。尽管吴老师看过此文，依然还可以保持这样的批评姿态。而我，至少可以借此文严肃地对吴老师表明我的积极认真的姿态。也谨此向吴老师道歉和表白。我早先因吴老师的执着而怀疑了吴老师的态度，导致了吴老师更强烈的反弹：怀疑我的态度和能力，这是让我们走向一个双输的逻辑点的博弈，不值得发扬和提倡。我更坚信，会有更多的“共同体”内的老师们，会发现此文中的闪光思想的。
同时感谢邹晓辉老师分享的共同体交流原则和张学文老师“缩小讨论范围”的建议，本文也是按建议做的结果。
最后，谢谢我自己，没有食言：“如果需要，我是可以做到很严谨的。”以此希望更多有批评爱好或没批评爱好的共同体成员能在批评之前，尽量本着“对方的观点是合理的”态度来理解被您批评的观点，实在不能做合理的理解，再来批评不迟。
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
邱嘉文
2011-4-28 于珠海
https://blog.sciencenet.cn/blog-33982-438295.html
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