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追梦之旅-10-液汽类比
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自从在科学网上开博介绍我的三维伊辛模型精确解猜想，已经三年多过去。写有追梦，困惑， 巧合，说梦等系列博文。其中经历了许多风风雨雨，有科学探索的迷茫纽结，也有收获果实的疯狂喜悦，更有激辩猜想的激情四射，。。。。。。我非常欣慰的是，猜想现在已经得到一些国际同行的支持和鼓励。当然，我心里觉得最为宝贵的是：在我最困难的时刻，得到了科学网上许多（素昧平生）网友的无私支持和热情帮助，使我平安渡过了一段最为艰辛的心路历程。这份情谊大呆将永远珍藏在心间！
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Phys. Chem. Liquids 47 (2009) 693.
液-汽临界点现象：特别是通过一个磁性的类比从二维到三维的转变
N.H. Marcha,b,c and Z.D. Zhangd
a Department of Physics, University of Antwerp, Antwerp, Belgium
b Donostia International Physics Center (DIPC), P.o Manuel de Lardizábal, No 4. 20018 Donostia, San Sebastián, Spain
c Oxford University, Oxford, England, UK
d Shenyang National Laboratory for Materials Science, Institute of Metal Research and International Centre for Materials Physics, Chinese Academy of Sciences, 72 Wenhua Road, Shenyang, 110016, P.R. China
摘要
这个快报的动力来自于两个实验。第一个是由Kim和Chan(1984)测量了一个两维液-汽临界点指数。第二个是通过超薄金属膜的磁性研究临界指数从二维到三维的转变。这里，在临界点附近的磁性性质和对应的液-汽性质的类似性第一次被用来讨论后者的从二维到三维的转变。最后，在铁磁体CrBr3临界点附近实验观察到的磁性性质可以被预期为三维伊辛模型的哈密顿的指纹。
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Kim和Chan [1]四分之一个世纪之前报导了二维(2D) 液-汽临界点指数的实验确定结果。特别地，这些作者在一个详细的热容研究中给出吸附在石墨上的亚单原子层CH4液汽共存边界。从这种测量得到的表征液汽共存边界的序参数指数
为0.127 ± 0.020。这促使我们从Onsager [2]和杨振宁[3]给出的二维伊辛模型的解以及由我们之一预言的三维值 = 3/8[Zhang [4], 也见Klein和March [5]]构建图1。我们在图1中已经加上了平均场对应四维的值 = 1/2 和一维值 = 0。曲线做为眼睛的一个指引[注: 引导眼睛的意思]。上述实验结果[1]与杨振宁[3] 二维伊辛模型的结果 = 1/8吻合得非常好。
为0.127 ± 0.020。这促使我们从Onsager [2]和杨振宁[3]给出的二维伊辛模型的解以及由我们之一预言的三维值 = 3/8[Zhang [4], 也见Klein和March [5]]构建图1。我们在图1中已经加上了平均场对应四维的值 = 1/2 和一维值 = 0。曲线做为眼睛的一个指引[注: 引导眼睛的意思]。上述实验结果[1]与杨振宁[3] 二维伊辛模型的结果 = 1/8吻合得非常好。
Figure 1 Critical exponent as a function of dimensionality d, constructed from the solution of the 2D Ising model [3] and the prediction = 3/8 for three dimensions made by Zhang [4], the mean field value = 1/2 for d = 4 and = 0 for d = 1.The curve is plotted as a guide to the eye.
as a function of dimensionality d, constructed from the solution of the 2D Ising model [3] and the prediction = 3/8 for three dimensions made by Zhang [4], the mean field value = 1/2 for d = 4 and = 0 for d = 1.The curve is plotted as a guide to the eye. 这篇快报的剩余部分主要考虑研究液-汽临界点的类似物磁性临界现象，如在Stanley [6]的书中强调的那样，讨论从二维到三维的演变。临界点现象的假定的普适性允许在临界点处的磁性现象与在液-汽临界点的现象有直接的对应关系。
这里，我们集中在二维液-汽临界点的临界性的实验研究[1]和三维绝缘铁磁体CrBr3[7,8]和产生从二维到三维临界指数的维度跨越[9]的磁性测量。在液-汽和磁性的临界现象的类比允许我们作出在液-汽临界点临界指数(d)在二维到三维跨越区域的预言。并且，测量的临界性附近的磁性状态方程允许从三维伊辛模型哈密顿的预言。
的维度跨越[9]的磁性测量。在液-汽和磁性的临界现象的类比允许我们作出在液-汽临界点临界指数(d)在二维到三维跨越区域的预言。并且，测量的临界性附近的磁性状态方程允许从三维伊辛模型哈密顿的预言。 在一个磁性系统，与Griffiths 的解析要求一致，人们可以对临界性附近的状态方程进行参数化[7]。对绝缘铁磁体CrBr3，Ho和Litster的磁化强度实验结果[8]可以用作为
的线性函数的m()进行拟合。Ho和Litster给出的临界指数 = 0.368, 
= 1.215和
= 4.3 [7,8]与张给出的最近的三维伊辛模型结果[4]很接近，即= 3/8, = 5/4和 = 13/3。我们所以在[10] 中预言，正比于作为三维伊辛模型哈密顿的一个指纹。当然，在将这个问题进一步推进，让我们回到二维到三维性质的演变，特别是参考Kim和Chan [1]的二维性质的实验结果。他们的工作促使我们讨论临界指数从二维到三维的维度跨越。为了实现这个目的，我们再次地引用上述磁性类比。
的线性函数的m()进行拟合。Ho和Litster给出的临界指数 = 0.368, = 1.215和= 4.3 [7,8]与张给出的最近的三维伊辛模型结果[4]很接近，即= 3/8, = 5/4和 = 13/3。我们所以在[10] 中预言，正比于作为三维伊辛模型哈密顿的一个指纹。当然，在将这个问题进一步推进，让我们回到二维到三维性质的演变，特别是参考Kim和Chan [1]的二维性质的实验结果。他们的工作促使我们讨论临界指数从二维到三维的维度跨越。为了实现这个目的，我们再次地引用上述磁性类比。
Figure 2 Critical exponent as a function of film thickness t for Ni (111) / W (110). The experimental data are taken from Fig. 2 of [9]. The dot lines show Yang’s exact solution for the 2D Ising model [3] and Zhang’s recent result for the 3D Ising model [4].
as a function of film thickness t for Ni (111) / W (110). The experimental data are taken from Fig. 2 of [9]. The dot lines show Yang’s exact solution for the 2D Ising model [3] and Zhang’s recent result for the 3D Ising model [4].我们下面所以引用超薄磁性薄膜的临界指数的实验结果。Li和Baberschke [9]测量了在W (110)基片上的Ni (111) 薄膜的临界指数 。他们的工作显示了随镍薄膜厚度的减少发生从二维到三维的维度跨越。在图2中，我们重新画了显示二维到三维的维度跨越的实验结果，并和杨振宁的二维伊辛模型精确解[3]和张最近的三维伊辛模型结果[4]画在一起。从图2中可见，对块体镍的实验临界指数 = 0.38 [9]与张的理论结果 = 3/8 非常接近[4]。同时，镍薄膜厚度4层时为一个 = 0.13的真正二维磁性相变 [9]，与杨的1/8非常接近[3]。随镍薄膜厚度的减少，有一个在杨的和张的临界指数间的从二维到三维的维度跨越。跟随Klein和March的工作[5]，我们能够通过分形维度做一个临界指数(d)的内插。我们在图3中画8与维度d的函数曲线，从文献[5]的方程(1)和(6)计算得到。这个形式的(d)被用来与Li和Baberschke [9]的实验结果一起来估计W (110)基片上的Ni (111) 薄膜的维度d与用单层数测量的薄膜厚度t 之间的关系。薄膜厚度倒数t-1与d的曲线被表示在图4。清楚地看出，薄膜厚度倒数t-1随维度d从2增加到3，首先快速，然后逐步减少。在最近的工作 [4,11]，发现三维伊辛晶格的临界性质的演变敏感地依赖于沿三个晶体轴的相互作用如何变化以及系统的对称性。在接近最对称(简单立方)晶格的附近，没有二维到三维的维度跨越 [11]。但是，如果变化相互作用导致系统的对称性被严重破坏，我们将经历三维临界性质、二维到三维的维度跨越性质、和二维 (甚至一维) 临界性质的变化[11]。可以理解，Ni(111)薄膜中维度跨越性质的发生[9]是由于薄膜厚度的减少实际导致系统的不对称性。
的实验结果。Li和Baberschke [9]测量了在W (110)基片上的Ni (111) 薄膜的临界指数 。他们的工作显示了随镍薄膜厚度的减少发生从二维到三维的维度跨越。在图2中，我们重新画了显示二维到三维的维度跨越的实验结果，并和杨振宁的二维伊辛模型精确解[3]和张最近的三维伊辛模型结果[4]画在一起。从图2中可见，对块体镍的实验临界指数 = 0.38 [9]与张的理论结果 = 3/8 非常接近[4]。同时，镍薄膜厚度4层时为一个 = 0.13的真正二维磁性相变 [9]，与杨的1/8非常接近[3]。随镍薄膜厚度的减少，有一个在杨的和张的临界指数间的从二维到三维的维度跨越。跟随Klein和March的工作[5]，我们能够通过分形维度做一个临界指数(d)的内插。我们在图3中画8与维度d的函数曲线，从文献[5]的方程(1)和(6)计算得到。这个形式的(d)被用来与Li和Baberschke [9]的实验结果一起来估计W (110)基片上的Ni (111) 薄膜的维度d与用单层数测量的薄膜厚度t 之间的关系。薄膜厚度倒数t-1与d的曲线被表示在图4。清楚地看出，薄膜厚度倒数t-1随维度d从2增加到3，首先快速，然后逐步减少。在最近的工作 [4,11]，发现三维伊辛晶格的临界性质的演变敏感地依赖于沿三个晶体轴的相互作用如何变化以及系统的对称性。在接近最对称(简单立方)晶格的附近，没有二维到三维的维度跨越 [11]。但是，如果变化相互作用导致系统的对称性被严重破坏，我们将经历三维临界性质、二维到三维的维度跨越性质、和二维 (甚至一维) 临界性质的变化[11]。可以理解，Ni(111)薄膜中维度跨越性质的发生[9]是由于薄膜厚度的减少实际导致系统的不对称性。
Figure 3 The 8 versus d curve calculated from eqs. (1) and (6) of [5].
versus d curve calculated from eqs. (1) and (6) of [5]. 
Figure 4 The inverse of the thickness t-1 versus d curve obtained by utilizing the experimental data in Fig. 2 for film thickness dependence of the critical exponent and the plot in Fig. 3 for the relation between the critical exponent and dimensionality d.
and the plot in Fig. 3 for the relation between the critical exponent and dimensionality d. 回到临界性附近的状态方程，Schofield等人[1利用在临界点(CP)附近参数r和的热力学函数的参数表达式。这些测量物理量中的第一个是从临界点(CP)的一个“距离”，同时，为围绕从共存线的一边到另外一边的常数r线的一个距离。在一个磁性系统，用通常的临界指数和可以将磁场写成：H=
h(), 温度为T=rt()。磁化强度M 为M= 
m()[7]。 对绝缘铁磁体CrBr3，Ho和Litster 的实验结果[8]可以用m()做为 的线性函数进行令人惊讶的精度的拟合。然后，Schofield等人[1]确信地争辩，临界指数与这些参数有关。对CrBr3，Ho和Litster给出 = 0.368, = 1.215和 = 4.3[7,8]。我们在[10]中强调是，张的非常最近的三维伊辛模型结果[4],也见[5]，即= 3/8, = 5/4和 = 13/3与Ho和Litster对CrBr3的实验发现非常接近。作为这个一致性的结论，我们在[10]预言：CrBr3的临界行为可以用为三维伊辛哈密顿很好地描述。这个哈密顿的指纹将是在上面方程中磁化强度M 的m()将正比于。
的热力学函数的参数表达式。这些测量物理量中的第一个是从临界点(CP)的一个“距离”，同时，为围绕从共存线的一边到另外一边的常数r线的一个距离。在一个磁性系统，用通常的临界指数和可以将磁场写成：H= h(), 温度为T=rt()。磁化强度M 为M= m()[7]。 对绝缘铁磁体CrBr3，Ho和Litster 的实验结果[8]可以用m()做为 的线性函数进行令人惊讶的精度的拟合。然后，Schofield等人[1]确信地争辩，临界指数与这些参数有关。对CrBr3，Ho和Litster给出 = 0.368, = 1.215和 = 4.3[7,8]。我们在[10]中强调是，张的非常最近的三维伊辛模型结果[4],也见[5]，即= 3/8, = 5/4和 = 13/3与Ho和Litster对CrBr3的实验发现非常接近。作为这个一致性的结论，我们在[10]预言：CrBr3的临界行为可以用为三维伊辛哈密顿很好地描述。这个哈密顿的指纹将是在上面方程中磁化强度M 的m()将正比于。我们的结论可以总结如下：我们首先利用Kim和Chan [1]二维(2D)液-汽临界点指数的实验结果，加上在超薄磁性薄膜基础上[9]的磁性类比来处理临界指数从二维到三维的维度跨越。利用临界等温关系的指数 (d)作为维度d的函数 [5]，我们已经显示维度d和薄膜厚度t间的关系。进一步拓展上述磁性类比，.我们确信，在临界性附近，Ho和Litster对CrBr3实验给出的临界指数, 和[7,8]与张的理论临界指数[4]优异精确地吻合。维度跨越临界性质由于系统的对称性的严重破坏将会在磁性和液-汽系统被观察到。
(d)作为维度d的函数 [5]，我们已经显示维度d和薄膜厚度t间的关系。进一步拓展上述磁性类比，.我们确信，在临界性附近，Ho和Litster对CrBr3实验给出的临界指数, 和[7,8]与张的理论临界指数[4]优异精确地吻合。维度跨越临界性质由于系统的对称性的严重破坏将会在磁性和液-汽系统被观察到。 Acknowledgements NHM acknowledges especially that his contribution to this article could not have been made without the stimulation of visits to the DIPC, San Sebastián, Spain. He thanks Professor P.M. Echenique for very generous hospitality. NHM also thanks the University of Antwerp for making possible his continuing affiliation. Especial thanks are due to Professors D. Van Dyck, D. Lamoen, and C. Van Alsenoy for financial support. ZDZ acknowledges the support of the National Natural Science Foundation of China (under grant numbers 50831006 and10674139). NHM also had partial financial support from the University of Antwerp through the BOF – NOI.
References
[1] H.K. Kim and M.H.W. Chan, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 170-173.
[2] L. Onsager, Phys. Rev. 65 (1944) 117-149.
[3] C.N. Yang, Phys. Rev. 85 (1952) 808-816.
[4] Z.D. Zhang, Phil. Mag. 87 (2007) 5309-5419.
[5] D.J. Klein and N.H. March, Phys. Lett. A 372 (2008) 5052-5053.
[6] H.E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena (Oxford Science Publications, 1971).
[7] P. Schofield, J.D. Litster and J. T. Ho, Phys. Rev. Lett., 23 (1969) 1098-1102.
[8] J. T. Ho and J.D. Litster, Phys. Rev. Lett., 22 (1969) 603-606.
[9] Y. Li and K. Baberschke, Phys. Rev. Lett. 68, (1992) 1208-1211.
[10] N.H. March and Z.D. Zhang, Phys. Lett. A 373 (2009) 2075-2076
[11] Z.D. Zhang, Solid State Commun. (submitted).
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