32 额外维度何处寻

     微观世界藏玄机

使用一个不完全恰当的比喻来描述物理理论：它就像正在上演的一部大戏。戏剧最重要的成分有3个：舞台、演员、和剧本。对物理理论而言，也是如此：物理理论的大舞台就是我们的宇宙；世间万物，或者说，构成万物的基本元素，是舞台上形形色色的各种“角色”，即演员。而万物遵循的物理规律便是“剧本”。

在弦论之前的物理学中，无论是牛顿还是爱因斯坦，大多数理论（除少量例外）的舞台就是我们众所周知的、熟悉的三维空间，加上时间，被称为“四维时空”。例如，曾经介绍过的标准模型，便是61种“基本粒子”在“四维时空”中遵循量子规律而上演的一部大戏。这些基本粒子包括传递相互作用的玻色子，和构成物质的费米子。所有基本粒子都被认为是没有结构和大小的“点”状粒子。

图32-1：弦论的空间与众不同

如图32-1所示，到了弦论，仍然是三个要素，但它们的内容改变了。舞台从四维变成了超弦的10维，或者M理论的11维；角色从（0维）点粒子变成了（1维）的“弦”（或者可以推广到2维膜、3维……等等）；“剧本”，即万物遵循的规律，在弦论中固然也有所不同。以后各篇将陆续介绍这些不同点，本篇仅涉及第一个要素：弦论的舞台，即弦论中与时空和维度有关的概念。

·10维空间中的弦

众所周知，我们生活的空间是3维的，也就是通常所说的“前后、左右、上下”3个不同的方向。如果再加上时间算一维的话，也可以说，我们的世界是一个四维时空。用更为通俗直观的话来说，就是任何发生的事件，需要用4个数值来表示。

例如，有新闻报道说“北京时间2021年1月15日20时32分在（北纬38.43度、东经97.35度、深度9千米）处发生地震。”这儿的“北纬、东经、深度、时间”，4个数值，便标志了地震发生的一个4维时空点。

仅就数学意义而言，维度是可以扩展的，多几个维度不过就是多几个描述事件的数值而已。例如上文所指地震发生的事件，除了“北纬、东经、深度、时间”4个“时空点”数值之外，还可以加上“震级、烈度、死亡数……”等等其它资料，这就相当于扩展了事件的维度数。

然而，在超弦论中，并非简单地增加参数，而是认为宇宙的“时空”是10维的，也就是说，除了1维时间之外，超弦理论认为我们生活的空间是9维的。这是怎么一回事呢？应该到哪儿去寻找这多出来的、我们感觉不到的6个空间维度？弦论学家们对此的解释是：因为那几个额外的维度被“卷缩”起来并且“隐藏”在了一个非常小的尺度中。

那么，我们首先梳理一下物理理论中的不同“尺度”。

·普朗克尺度

普朗克尺度被认为是现代物理中的最小尺度，包括“普朗克长度”和 “普朗克时间”。它们标志着现代物理学认为可能测量的最小极限长度和极限时间。它们的数值是：

凡是冠以“普朗克”的物理量，大多数都是与量子现象有关。从上面两个公式也可知，普朗克长度l_p（和时间t_p），均与标志微观量子物理的普朗克常数h相关。因此，它们是非常小的数值。到底有多小呢？图32-2中列出了构成物质的基本单元之尺度大小的比较。例如，从图中显示的数据可知，普朗克长度（大约10^-33cm）比原子的平均尺度（约10^-8cm），还要小上25个数量级！

图32-2中标出了原子、质子、电子以及普朗克尺度大约的数量级。由图中可见：弦论中的“弦”，以及空间多余的维度，都卷曲在不可观测的普朗克长度以下。在如此小的尺度下，通常的物理定律包括现有的量子力学及粒子物理标准模型等，都已经完全失效。引力开始展现量子效应，甚至于我们传统上对时间、空间的概念也可能会全盘瓦解。

图32-2：各种尺度大小比较的示意图

实际上，我们并不清楚小于普朗克长度距离之内范围中的物理规律，因为我们无法使用现有的技术在那儿做出任何准确测量。

换言之，对小于普朗克长度范围内物理系统的情况和状态，实验和测量无能为力，科学家们只能发挥及大的想象力来进行大胆的假设和猜测。尽管这样的假设和猜测无法在普朗克长度范围之内被直接观察和验证，但却可以以此建立适应更大外围空间（普朗克尺度之外）的物理理论。这些理论有可能解决现有理论尚未解决的问题，并且可以（间接地）被实验证实或证伪。例如，理论物理的两大支柱：量子和引力，似乎水火不相容。没有现有的理论能将它们统一起来。弦论便是如此应运而生的一种理论，而以上所描述的“卷缩隐藏的维度”，便是弦论学家们所作的基本假设和猜测之一。这也就是为什么即使无法用实验验证，物理学家们仍然孜孜不倦地努力研究弦论，因为他们期待用这个深层模型，能够克服标准模型和其它量子理论的困难，解决这些物理理论不能解决的问题，将万物统一到一个单一的理论框架中。事实上，这个目标已经达到了一部分，弦论是迄今为止最有希望统一所有相互作用和粒子的物理理论。

·弯曲的时空

在日常生活中，我们只能感受到3维空间和1维时间，却从未观察到多余的“额外维度”。那是因为如刚才说到的，额外的空间维度卷缩隐藏在极小的尺度中。或者用数学的语言说，这些空间是“紧致化”的。

图32-3：隐藏着的额外1维空间（圆）

空间既然能“卷缩”，必然是弯曲的，如图32-3中隐藏着的1维圆圈。那么，首先我们要明白什么叫“弯曲的时空”？这需要从爱因斯坦的广义相对论讲起。

广义相对论认为，我们生活的四维时空也是弯曲的，只要有物质存在，时空就会弯曲（图32-4）。

图32-4：物质使时空弯曲

因此，从广义相对论的角度看，本文开头将物质和空间分别比喻为“演员和舞台”两种独立实体是不太恰当的。实际情况的宇宙中，物质和时空不可分割、互相影响。物质使得时空弯曲，时空决定了物质的运动。不过，四维时空的弯曲程度比较起弦论中额外维度的弯曲，要小得多。所以，在介绍弦论的这几篇文章中，我们可以暂且将我们生活的、并能感受到的四维时空看着是平直的，而只考虑极度“弯曲和紧致”的额外6个极小维度。

·历史：5维时空统一模型

在物理学中引进额外的空间维度，并非从弦论开始，早在1921年就有人试验过了。

爱因斯坦的广义相对论将引力场几何化后，一位德国数学家西奥多·卡鲁扎，企图将电磁作用也几何化，在四维时空的基础上加上了额外的第五维，以此来容纳与电磁场有关的变量，达到电磁和引力的统一。

根据卡鲁扎的想法，可以将广义相对论使用的四维时空上，加上一个额外的空间维，这一维代表电磁场，应该与电荷q，或电磁势A有关系，其中还包括了一个额外的标量场f，这个标量场所对应的粒子被卡鲁扎称之为“radion”，见图32-5。

图32-5：卡鲁扎-克莱因五维时空理论

根据这个五维时空的构想，卡鲁扎可以得到好几组方程式，其中包括等价于爱因斯坦场方程的一组、等价于麦克斯韦方程组的一组，以及关于标量场f的方程。后来，瑞典物理学家奥斯卡·克莱因又将此理论纳入量子力学，由此建立了卡鲁扎-克莱因理论。

如何解释理论中的第五维这个额外维度？卡鲁扎和克莱因认为，我们不能看到第五维空间，是因为它卷曲成了一个很小的圆，这个新颖的想法开了多维空间之先河，是第一个高维宇宙的模型，影响了之后的物理学家们建立标准模型时关于额外维度的几何构想。

如图32-5c（或图32-3）所示，第五维就像是在原来的4维时空（图32-5c中用平面的2维时空网格代替）中，加上了一些极小的圆圈，这些圆圈的尺寸太小时，我们就感觉不到它的存在，就像在现代的纺织机器织出的某些纤维布料中，我们看不到一些非常小的圈形纤维结构一样。物理学家计算出了卡鲁扎-克莱因五维时空中圆圈的大小，只有约为10^-30厘米的数量级。

类似圆圈的第五维可以被理解成复数平面上的旋转。实际上，电磁理论就是对应于复数平面上的旋转，这是数学家外尔后来建立的电磁场与量子化电子场相互作用的规范场的关键模型，后来又被推广到杨-米尔斯理论等。爱因斯坦曾经思考过卡鲁扎-克莱因理论，事实上卡鲁扎最原始的论文就是在他的支持和推荐下得以发表的。但爱因斯坦最终放弃了这个思想，没有在这条路上进一步走下去。

·维度是什么？

用上一段介绍的对5维模型的理解方式，同样可以理解更多维数的宇宙空间。这些多余的维度，卷曲在人们无法感觉到的维小尺度（普朗克长度）中，如图32-6所示。

图32-6：宇宙空间的额外维度

维数太高的空间是难以用直观想象的。如图32-7所示，0维空间表示一个点，1维是直线，2维是面，3维是体积。到了4维，还可以想象成“体积”的变动，但维数大于4的空间，就不那么直观了。所以我们最终不能只依赖于几何图形，必须从理论上来深入探究：什么是维数？额外维度的意义何在？

图32-7：维数的几何表示

简单而言，维数是数学中独立参数的数目。所以，维数增加是什么意思呢？是增加了表示某个事物所需要的变量数。从这个意义上来说，我们在日常生活中其实也经常和“高维空间”打交道。例如，要记录一个新生儿出生时的情况，仅仅4个时空数值是远远不够的，除了他的出生地点、年、月、日、时刻之外，还有体重、身长、血型、心跳快慢、呼吸次数、等等许多数据，这些独立参数的结合，就形成了数学上的一个多维空间，每一维都有其物理意义。

物理理论中，几何空间维度的增加，是为了描述更多的对称性。也就是说，是为了描述更多的物理规律，因为物理规律总是和某种对称性联系在一起。例如，当年的卡鲁扎，试图统一引力和电磁力而将时空增加到5维。而超弦理论企图统一的，除了引力和电磁力之外，还有强相互作用，弱相互作用，以及构成宇宙万物的所有基本粒子，1个额外维度显然包容不了这么多。为了满足所有的对称性要求，使得超弦中的空间额外维度增加到了6维，如图32-6b所示。

在图32-3中，我们眼中的电缆线是1维的，但在蚂蚁的眼睛中，那根电缆线却是2维的，在我们看到的一维电缆上的每一个点，蚂蚁都看见一个额外的“小圈”。

同样的道理可以用来描述弦论的世界：目前，我们只能感觉到3维空间，观察、测量到在3维空间中活动的基本粒子。然而，如果存在普朗克尺度以下的“极小”生物的话，它们便可能感觉到（3+6=）9维的空间。也就是说，在我们感觉到的3维空间的每一个点，这些小生物都感觉到一个额外的“6维小团”。话说回来，这样的小生物不可能存在，但不妨如此想象一下，或许能帮助我们更好地理解这个额外维度。

这个“6维小空间”具有些什么样的物理性质？数学上如何描述它？这就是我们在第一篇“弦外之音”中曾经提到过的、我们下一篇文章将要介绍的内容：卡拉比-丘空间。

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