15.2 矢量乘矢量是标量吗？

    有同学在网上提问：矢量乘矢量是标量吗？

    能想到这种抽象数学问题，难能可贵，意义非凡。

    我们探讨一下，矢量乘矢量能成为标量吗？

    举个例：

    量子力学中，证明波粒二象性的电子双缝干涉试验，很多人觉得非常诡异。

    一个电子打到靶板上，我们看到的是一个粒子；一个电子似乎无所谓干涉。两个电子似乎也无干涉......但是，n多个电子加在一起怎么就出现干涉了呢？

    其实，干涉现象的并不是简单“加法”产生的，本质是因为“乘法”（特征属性复合“乘法”）。且看：

    例1：一挺机枪从远处通过两个小孔扫射远方靶墙，子弹通过缝1和缝2，互不相干地一粒一粒打到靶上，此时密度分布p12(x)简单地等于通过两个小孔的密度分布相加：

    p12(x)=p1(x)+p2(x)      ① 

     例2：一个稳定声源经过双缝隔音板，到达吸音板，声音强度分布I12(x)并不简单地等于通过两个小缝的密度分布相加：

    I12(x)≠I1(x)+I2(x)

而是：

    I12(x)=I1(x)+I2(x)+干涉项      ②

      对比 ① 和②式，很显然“干涉项”是问题的关键

    进一步分析，设经过单缝1的声波用h1(x)exp(iwt1)表示，经过单缝2的声波用h2(x)exp(iwt2)表示，此时声波强度分布为：

    注意，干涉项就是：h1(x)exp(iwt1).h2(x)exp(-iwt2)，其中exp(iwt)是波函数的本证函数，也就是说h1(x)exp(iwt1)是矢量。

    所以，干涉项 h1(x)exp(iwt1).h2(x)exp(-iwt2)的实质即矢量乘矢量

   在一些特殊情况下（比如当exp(iw(t1-t2))=exp(iπ) 时），h1(x)exp(iwt1).h2(x)exp(-iwt2)变成标量-1，即此时矢量乘矢量等于标量

   上述例子说明，矢量乘矢量可能成为标量

   并且，矢量乘矢量可能成为标量的例子还很多。

      再比如，

     动能 E=½mV^2

   我们知道，速度V是矢量，那么V^2还是矢量吗？

   这里能量E是标量，质量m是标量，所以V^2也是标量。也就是说，这个公式中V的平方，即V乘V变成了标量

      既然有很多矢量乘矢量等于标量的例子，那么我们是否可以认定矢量乘矢量一定是标量呢？

   特请注意，答案是否定的！！！

   事实上，在大多数情况下矢量乘矢量不是标量

   常见的例子：

   我们都知道，物理学中两个矢量的叉乘，是一个另外的矢量。

   更一般的情形，两个矢量的乘积（即一个一阶向量复合乘以另一个一阶向量）得到的是一个二阶张量。

   比如，桌子是一种特征向量，椅子是另一种特征向量，但是‘桌子乘椅子’却不是一阶向量。类似‘桌子乘椅子’这种高阶张量是广泛存在的，只是，它超出了一阶特征属性的表达范围。它不在人类习以为常的自然语言（一阶逻辑系统）中。因为不知道这种高阶张量概念所表达的含义，我们通常会选择性忽略它而已。

   虽然天生一阶逻辑思维的人类习惯于漠视高阶逻辑概念，但是高阶逻辑却是普遍存在的，并且意义重大。

   比如：

   听说最新的围棋绝招很多是 AlphaGo 独创的，人们惊奇于 AlphaGo 的新颖下法是如此匪夷所思的高超。但是，当大家复盘 AlphaGo 的参数系统时，却发现根本无法理清它的思路。因为基于深度学习模型的 AlphaGo 的参数集，是高阶张量。换句话说， AlphaGo 的思维模式是高阶逻辑的，这对于习惯于一阶逻辑的人类而言如同“黑箱”。

   所幸的是，在特殊情况下，高阶张量积会“降阶”成为低阶的向量、或者更低阶的标量。

   也许正因为有了这些“特殊情况”，大自然才能在混沌中凝聚成粒子，我们才能在杂音中领会到规律。

   把高阶张量“降阶”，是‘深度学习’复合特征属性模型简化算法的要义。

   对于复合乘法化简，即是对于不等价不可约群表示的化简。