把吴钩看了，栏杆拍遍。

光栅是常用的光学器件，具有周期性的结构。栅（shān），就是栅栏（zhà lan，讨厌的多音字，还有北京的大栅栏dà shír lànr），就是一排栏杆。以前的篱笆也是，但是间距不那么整齐；现代化工业生产的各种栏杆，间距都是整整齐齐的；光栅就更厉害了，整齐度要用光的波长来衡量。

把两排间距略有差别的栏杆放在一起，就会看到总的效果是有密有疏（类似于游标卡尺），有些地方靠的近一些，有些地方远一点。从远处看天桥的两排栏杆也有这个效果，虽然它们的间距相同，但是到你的距离不一样，所以视张角就略有差异。把两片窗纱叠起来，也有类似的效果。这就是所谓的“莫里条纹”。类似的现象还多得很，比如说，把两层石墨烯（石墨原子单层）叠在一起、略微错一个角度，就可以得到这几年特别火的“魔角石墨烯”材料，据说对研究超导机制很有帮助。

光栅的作用很好理解，特别是在夫琅禾费条件下：平行光入射，就有平行光出射，不同的干涉级对应于相邻单元提供的光程差是波长的不同整数倍。不同的干涉级$k$对应于不同的出射角度$\theta \propto k/L$，其中$L$是光栅的周期。点光源发射的光，需要用凸透镜变成平行光，而平行光不好观察，需要在用一个凸透镜把它们聚焦，这样一来，光栅就变成了另一个光栅。显然，这两个光栅的周期互为倒数（除了一个依赖于光学系统参数的系数以外）。这就是傅里叶光学的要义。把第二个光栅再做一次操作，就得到第三个光栅，后两个光栅的周期同样互为倒数。所以，第一个光栅的周期就等于第三个光栅（仍然有可能相差一个系数）。这就是全息光学的要义。

为什么说光栅是傅里叶光学和全息光学的要义呢？我们换种说法再讲一遍。基尔霍夫衍射积分公式告诉我们，对于光学成像来说，整体等于部分之和。因此我们处理光学问题的一个方法就是，把复杂的物体划分为尽可能简单的部分——光栅就是最简单的组分。任意函数都可以分解为一组“正交的”正弦函数和余弦函数（“傅里叶分解”），任意物体（在光学中，就是某个平面上的光场振幅和相位）也可以分解为一组光栅，因为每个光栅的效果是容易知道的，它们的整体结果就是简单的求和：当然是光场振幅的求和，而不是光场强度。

这也是个函数逼近的问题：如何用一组已知的函数来尽可能准确地表示（也就是“逼近”）一个任意的函数。泰勒展开是一种方法，傅里叶变换是另一种方法。简单描述一下。

在某个范围里给出一个函数（光场分布），那么它的平均值就是最基本的一个参数，求出其平均值，就是傅里叶变换的常数项了。

这个函数减掉平均值以后，一定是有正有负的，最简单的有正有负的函数就是正弦和余弦，而且它们的周期等于刚才给出的函数范围（“某个范围”），否则正负就不均衡了。把这个函数跟正弦和余弦分别求积分，就得到了一阶的傅里叶变换系数，这些系数表明，函数与一个周期的正弦和余弦有多么的接近。

把这个函数减去一阶的正弦项和余弦项，剩下来的部分最多只能跟二周期（在此范围内有两个周期）的正弦和余弦函数相近了。同样用求积分的方法得到相应的二阶的傅里叶变换系数，它们衡量了该函数与两个周期的正弦和余弦有多么的接近。

由此递推得到更高阶的傅里叶变换系数。

显然，在同样大小的空间范围内，周期数越多，光栅就越密（周期间隔越小），“空间频率”越大。这里的空间频率是时间频率的类比物：在时域里，周期跟频率是成反比关系的。

有了这些认识，就容易理解阿贝（E. Abbe）成像原理了。

著名的“$4f$系统”由两个焦距$f$相同的透镜构成：焦点（物平面）到第一个透镜的距离是$f$，两个透镜之间的距离是$2f$，第二个透镜到其焦点（像平面）的距离也是$f$。在这个系统里，物平面的点光源（平行光）变成了像平面的点像（平行光）。

几何光学对光学成像的解读是，物体有许多点光源组成，每个点光源经过光学系统后形成一个点像，所有的点像构成了物体的像。阿贝把物体视为一个整体，平行光经过它后发生夫琅禾费衍射，在透镜的后焦面上形成衍射图案，然后，这个衍射图案的每一点再作为相干的次光源，它们发出的次波相干叠加，在像平面上形成了物体的像。这是一个不同的视角，但是有着强大的解释能力，并且为提高光学系统的质量有着重大的指导意义。

一般物体的夫琅禾费衍射图案是很复杂的，但是光栅的衍射结果很简单。前面说过，光栅对平行光的作用是很明确的。对于垂直于光轴的光栅来说，零级干涉在光轴上，干涉的级次越高，偏离光轴就越远。不同的干涉级次，在空间的位置是不一样的。这样就解释了光学系统的分辨本领为什么依赖于它的通光口径，因为有限的通光口径阻止了空间频率的高频成分参与成像，从而丢失了物体的细节，降低了像的质量。

理解了这一点，还可以根据需要对各个级次的干涉结果进行调节甚至消除：这就是“空间滤波”。课本中说的“纹影法”，就是用刀片把零级和负一级挡住，只留下正一级的干涉；马雷夏尔改善像质的方法，就是减少空间频率的低频部分的透过率，使得原本模糊的相片细节突出出来，因为所谓的“细节”就是空间变化很快的地方，对应于空间频率很大的高频部分；“相衬法”则是给零级的空间频率部分提供一个额外的相位$\pi/2$，使之与一级的部分发生干涉。

上面是把物体视为一组光栅的组合，然后从阿贝原理来考虑其成像。有时候，这些光栅本身不是物体，而是物体反射（或透射）的光与一个参考光束（通常是激光）形成的光栅，这个光栅里包含了物的信息，再用一束激光照射它，就可以再干涉级里恢复物的信息（也就是“全息像”）。书上说得已经很好了，我就不重复了。

还没有提到的本章内容包括“特征识别”和“伪彩色编码”，但我不想讲了，因为其中一个太简单，而另一个已经过时了：特征识别，说的就是频率空间比实空间更有利于识别特征，特征其实就是周期；用计算机把灰度图变成伪彩色图，比光学方法简单一万倍。

所以，就到这里吧。