谁知百炼钢，化为绕指柔。

光线，光线，光是沿着直线传播的。这里说的是光在均匀介质的传播，比如说，真空、空气或者水。在两种均匀介质的界面处，会出现反射和折射现象——光线发生了偏折。（光学教学笔记之空留明月辉）

在反射和折射过程中，有几个特殊的方向需要搞清楚。首先是入射光的方向，然后是分界面的法线方向。这两个方向决定了一个平面（入射面），反射光和折射光都位于这个平面内。折射定律$n_1 \sin \theta _1=n_2 \sin \theta _2$显然有个更普适的形式，$n\sin \theta =$常数。由此可以应用到更多的情况中。

首先是多层的均匀介质，每层介质的折射率是已知的，分界面都是彼此平行的。因为所有界面的法线法向都是相同的，光线最终都落在一个平面内，也就是最初的入射光和法线组成的平面。光在每层介质内沿直线传播，在界面处发生折射，光的整体轨迹是分段的折线。具体计算也是直接了当的，只是需要多算几次而已。

折射率渐变的情况稍微麻烦一些。这其实就是总厚度保持不变、层数变为无限多的极限情况。可以把它划分为有限的层数，每层用平均折射率来近似，然后采用刚才的算法。也可以用微分方程来求解，因为这种情况下，光的轨迹是一条曲线，但仍然位于同一个平面内（决定于法线和入射光的方向）。在光轨迹上的每一个点，仍然有两个特殊的方向：梯度折射率介质的法线方向， 光轨迹在该点的切线方向。这两个方向就确定了一个角度$ \theta $，再根据折射定律的普适形式（$n\sin \theta =$常数），就可以得到一个一阶微分方程，因为切线的方向决定于轨迹的导数。只要知道折射率的分布情况，由一阶微分方程再加上一个初始条件（入射光的方向），就可以确定整个轨迹了。无论海市蜃楼还是沙漠幻境，都是因为温度的差别导致了空气密度（因而也就是折射率）的梯度分别，从而使得光线弯曲、产生了幻景。在太阳暴晒的公路或者机场跑道上，也可以观察到类似的情况。在海水里，不仅有温度梯度，还可以有盐分的梯度，同样会造成折射率的变化。

如果折射率的层状分布不是平面型的，而是球对称的，也很容易求解，还有个类似于角动量守恒的“布格Burge定理”。在光轨迹上的任何一点，仍然是有两个特殊的方向：切线方向和法线方向，而且法线方向正是球心与该点的连线方向。所以，光轨迹总是位于同一个平面（球心也位于该平面内），只要采用球坐标系，仍然可以用折射定律得到一个一阶微分方程，再利用初始条件就可以得到整个轨迹。太阳光在地球大气中的折射就属于这种情况：清晨的太阳还在地平线以下，就发出了进入你眼睛的第一缕阳光：月全食的时候，我们看到的不是黑月亮，而是红月亮（谈谈红月亮）。人造物体就更多了：麦克斯韦研究的“鱼眼”镜头（“绝对仪器”的一个简单而有趣的例子），超音速战斗机上用于增强反射波的龙勃透镜（可以替代气动性能较差的角锥反射镜），都利用了这种设计。

折射率分布是柱对称的情况，会有些麻烦：在光轨迹的任何一点，有三个特殊的方向，对称轴的方向$z$，折射率梯度的方向$r$，以及光入射的方向。一般来说，光的轨迹不再是位于一个平面内，但也有两种特殊的情况，可以利用对称性转化为二维问题：光线垂直于对称轴；光线经过对称轴，折射率梯度的光纤大致满足这个条件（但是不能太细，否则光的波动行为就会起作用，而我们这里只考虑几何光学），伍德透镜以及各种折射率梯度透镜（GRIN，利用离子扩散技术制作）都可以让入射端面和出射端面都是平的，同时有具有汇聚（或发散）光的作用。

可以精确处理的情况，大约就这么几种了。其他情况都要采用近似或者数值求解的方法。比如说，只要折射率分布只在空间的有限几个部分是不同的（“几个”可以是很大的数字），就总是可以采用“光线追迹法”：在同一个介质中，光是直线传播，碰到界面后，用折射定律处理，然后再直线传播，直到遇见下一个界面。只要选定足够多的初始光线，就可以得到整个系统的表现。连续的分布（无限多部分的折射率都不一样）可以用有限的分布来近似，而现在的计算能力空前强大，算这些东西，都是小菜一碟了。

虽然说是小菜一碟，但也没必要总是用蛮力啊。即使对于最一般的情况，仍然可以求助于微分方程。只要我们知道折射率的空间分布，就可以得到“光线方程”，前面提到的都只是光线方程的特例。利用费马原理（最小光程原理），就可以用变分法得到光线方程。（我们以前用变分法处理过力学里的最速降线问题，还得到了拉格朗日方程。力学教学笔记之变分法）

已知条件是折射率的空间分布，用费马原理求A、B两点之间的光轨迹。实线R(ight)是满足最短光程的轨迹，虚线W(rong)是附近的一条随便选的轨迹。$s$是轨迹R上任一点C到A的长度，C点的空间位置用矢量$r(s)$来表示，D是轨迹W上用同一个参数$s$表示的微小变化，它与C点的位置差是矢量$a(s)$。利用费马原理就可以得到光线的轨迹。（见附录）

当然，还有更严格的处理。考察由麦克斯韦方程组得到的电磁波方程，可以猜测介质中的电磁波可以用所谓的“程函”来描述，也就是说，把电磁波的平面波解$e^{ik r}$推广到程函解$e^{ik S(r)}$，其中的“光程”$S(r)$是位置坐标的实函数。在适当的近似下，可以得到所谓的“程函方程”，进而得到光线方程。细节就不说了，请参阅Born&Wolf《光学原理》的第三章。

简单总结一下。在几何光学的近似下，光线在介质中的传播是个确定性的问题：由微分方程决定，有确定的解，在对称性好的情况下，解的形式还很简单。定性地说，光线总是往折射率大的地区偏转。而且，这个原则不仅可以用来描述光，还可以描述声波等其他波动现象，甚至广义相对论中光线在引力场中的弯曲问题，只是需要考虑那些情况下的折射率对应着什么样的物理参数。

最后，让我们暂时从物理问题转向人生哲学。我拉拉扯扯地讲了这么多，图个什么呢？曲曲折折表达出来的意思不过是这样的：物理很容易，让别人对物理感兴趣，似乎却并不容易——你必须要尝试许多方法，采用各种手段。

从这个角度来看，如果你问我，这个光他好好的直线不走，为什么偏要走弯路？我当然可以用什么最短光程、测地线什么的来忽悠你，但是我相信，这都不是原因，光这个家伙之所以不走正道，肯定是因为他听说过中国古代的谚语：

直如弦，死道边；

曲如钩，反封侯。

附录：利用费马原理推导光线方程。

已知条件是折射率的空间分布，用费马原理求A、B两点之间的光轨迹。实线R(ight)是满足最短光程的轨迹，虚线W(rong)是附近的一条随便选的轨迹。$s$是轨迹R上任一点C到A的长度，C点的空间位置用矢量$r(s)$来表示，D是轨迹W上用同一个参数$s$表示的微小变化，它与C点的位置差是矢量$a(s)$。利用费马原理就可以得到光线的轨迹。（见附录）

费马原理说的是：光程$L=\int ^B_A n \mathrm{d}s$最小，也就是$\delta L =0$。因为$\mathrm{d}s =|\mathrm{d} r(s)|$，所以

$L=\int ^B_A n \left|\frac{\mathrm{d} r(s)}{\mathrm{d}s } \right| \mathrm{d}s$

再强调一遍，这里的$s$是个参数，它是曲线R上的点沿着曲线到点A的距离。变分$\delta L$就是这个积分中两个乘积项的变分，$\delta n \left|\frac{\mathrm{d} r(s)}{\mathrm{d}s } \right|$ 和$ n \delta \left|\frac{\mathrm{d} r(s)}{\mathrm{d}s } \right|$。

$\delta n$好求，它就是折射率梯度在$a(s)$方向的投影，$\nabla n \cdot a(s)$。$ \delta \left|\frac{\mathrm{d} r(s)}{\mathrm{d}s } \right|$算起来有些复杂，最直接的方法是从定义出发，计算$ \left|\frac{\mathrm{d}(r(s)+a(s))}{\mathrm{d}s } \right|- \left|\frac{\mathrm{d} r(s) }{\mathrm{d}s } \right|$，注意到这里是矢量运算，$|r+a|=\sqrt{(r+a)\cdot(r+a)}$，再利用$|a|\ll |r|$，就可以求出变分了。

有了这两个变分，再利用$a$的任意性，就可以得到光线方程了。

更多细节可以参见：张蜀子，黄报星，《光线矢量与光线方程》，《华中师范大学学报（自然科学版）》，第25卷第1期（1991年），第30-34页。DOI:10.19603/j.cnki.1000-1190.1991.01.007

【摘要】：本文由费马原理的变分形式，导出光线微分方程。我们选用适当的参变数将光线方程降阶为光线矢量的一阶方程，用以解决若干非均匀媒质的几何光线问题。