前两天，林开亮老师在《那些悬赏的数学问题》里，介绍了一些有趣还有钱的数学问题。我试了一个看起来最容易的，我觉得我解决了这个问题。

此问题由山西大学附属中学王永喜老师征解，悬赏500 元人民币。

这个命题对于$n\ge 5$不成立。

证明：

取$r=\frac{p}{q}$，其中，$k\ge q \ge p$，而且$p$和$q$互素。为了方便起见，假设$k$的数值很大。

$n$次幂小于$k$的整数，只有$k^{1/n}$个，两个$n$次幂的和大约只有$k^{2/n}$个不同的数值，而$\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}$大约只能取$k^{4/n}$个不同的数值。

$r=\frac{p}{q}$的可能取值大约是$k^2$个。

对于某个特定的$r=\frac{p}{q}$，它有可能表示为$\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}$的几率是$k^{-\gamma}$，其中，$\gamma= 2-\frac{4}{n}$。

当然，$r$可以取值$\frac{2p}{2q}$，$\frac{3p}{3q}$ ，甚至更一般的，$\frac{mp}{mq}$。基于相同的考虑，$r=\frac{mp}{mq}$可以表示为$\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}$的几率是$(mk)^{-\gamma}$。

这样一来，$r=\frac{p}{q}$不能表示为$\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}$的几率就是

$(1-k^{-\gamma})\times (1-(2k)^{-\gamma}) \times  (1-(3k)^{-\gamma}) \times \ldots$

$\approx e^{-k^{-\gamma}-(2k)^{-\gamma}-(3k)^{-\gamma}-  \ldots }$

这是一个不等于零的数，因为只要$\gamma >1$，$\sum \frac{1}{i^{\gamma}}$就不是无限大。

所以，$r=\frac{p}{q}$不能表示为$\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}$的几率不为零。

补充说明：

简单地说，这个命题不成立的原因就是，等式右边的组合数远远小于等式左边。当然，因为涉及到无穷大，这样的类比需要很小心。

上面这个证明不适合于$n$等于3和4的情况，因为$\gamma =2-\frac{4}{n} \le 1$。偶数4不在命题考虑的范围里，所以唯一剩下的就是3了。

另外，上面这个不能算是严格的数学证明，但是思路应该是没问题的。我觉得还能写得更严密一些，但我是搞物理的，不是搞数学的——所以也就这样了。

顺便说一下：

对于搞物理的来说，哥德巴赫猜想（每个偶数可以表示为两个素数之和，$k=p+q$）是显然成立的。对于足够大的偶数$k$来说，有$k/ \ln k$个素数小于它，所以，随便选个小于$k$的素数$p$（有$k/ \ln k$种选择方式），那么，$q=k-p$也是素数的可能性是$1/ \ln k$。所以，$k$表示为两个素数和的可能性有$k/ (\ln k)^2$种。

当然啦，数学家们是不会承认这种“证明”的。

我也不承认。

PS：

用$\frac{q-1}{q}$来说明这个问题，好像更简单一些。