在上一期节目（文章见理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰，视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488）中，我们首先介绍了黎曼猜想的背景，即质数分布问题。然后指出了研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式：

这个公式左边的n指的是所有的自然数，1、2、3、4、5等等，右边的p指的是所有的质数，2、3、5、7、11等等。公式两端都出现的s是一个变量，当s > 1时欧拉乘积公式成立。

数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和，用大写的希腊字母Π来表示连乘。用这种表达方式，我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样：

然后，我们给出了欧拉乘积公式的证明。如果把n^-s记作f(n)，左边就是无穷级数Σ_n f(n)。对这个无穷级数乘以[1 - f(2)]，就会消掉所有的f(2n)项。再乘以[1 - f(3)]，就会消掉剩下的项中所有的f(3n)项。再乘以[1 - f(5)]，就会消掉剩下的项中所有的f(5n)项。把这样的操作重复无限多次，就会消掉所有的质数的倍数对应的项，也就是消掉所有的大于1的自然数对应的项，最后只剩下f(1)这一项，它等于1。把所有乘上去的[1 - f(2)] [1 - f(3)] [1 - f(5)]…等等移到右边去，就是欧拉乘积公式的右边Π_p [1 - f(p)]^-1。这样，我们就证明了欧拉乘积公式。

这其实就是当初欧拉的证明方法。它确实是一个非常巧妙的证明，堪称人类智慧的伟大结晶，令人赞叹不已。

欧拉

在上期节目的视频中，我注意到一件有趣的事。当我开始讲这个证明过程的时候，弹幕中充满了“告辞”、“劝退”、“阵亡”、“我是谁，我在哪，我在干什么”之类自暴自弃的话。但随着讲解过程的深入，越来越多的弹幕变成了“懂了”、“妙啊”、“存活”、“说得很清楚啊”。最后当证出来的时候，更是充满了一大片的“原来如此”、“太精彩了”、“恍然大悟”、“开心”等等。

真香

隔着屏幕都能感觉到同学们的“开心”，令我很欣慰。呐，做人呢，最重要就是开心！

做人最重要就是开心

理解数学有一种独特的开心，是其他任何东西都不能代替的。就像我以前讲蓝眼睛岛问题的十个层次从蓝眼睛问题，看群众理解能力的巨大差异 | 袁岚峰，完全理解了的同学就会非常高兴，因为他们从中学到的不止是这个问题本身的答案，还包括如何研究问题、如何获得深入理解的思维方法。

在上期节目的开头，我就讲了两个心理建设：一是打破跳蚤效应，勇敢地去面对数学；二是拿起纸笔，把瓜放下。任何同学如果真正按照这两点去做，我相信你就一定能领略到数学的乐趣！

回到欧拉乘积公式，左边的无穷级数Σ_n n^-s是一个以s为自变量的函数，可以记作ζ(s)（ζ是一个希腊字母，发音zeta）。现在我们把它称为欧拉ζ函数，以后我们会看到它如何变成了黎曼ζ函数。通过研究ζ函数，我们就有可能对质数获得深刻的了解。什么样的了解呢？下面就来举一个例子。

请问：任选两个自然数，它们互质（coprime）的概率是多少？

首先来解释一下，两个自然数互质的意思，就是它们没有共同的质因数，换句话说就是，它们的最大公约数是1。例如2和3互质，2和15互质，但15和21不互质，因为15和21都以3作为质因数。很快可以看出，任意两个不同的质数是互质的，一个质数和一个不以它作为质因数的合数是互质的，1和任意自然数都是互质的。

了解了互质的定义之后，我们如何计算两个自然数互质的概率呢？

可以这样思考。首先，考虑两个自然数有公约数2的概率。这等价于它们都可以表示成2n，而所有可以表示成2n的自然数在所有的自然数当中占据的比例是1/2。因此，任选一个自然数，它可以表示成2n的概率是1/2。而任选两个自然数，它们都可以表示成2n的概率就是1/2的平方，这就是它们有公约数2的概率。那么作为跟这种情况互补的情况，两个自然数没有公约数2的概率，就是1-1/2²。

然后，根据同样的推理，两个自然数没有公约数3的概率，就是1-1/3²。继续下去，两个自然数没有公约数5的概率，就是1-1/5²，如此等等。

最后，两个自然数互质，就等价于它们的公约数既没有2，也没有3，也没有5等等，没有任何一个质数。因此，两个自然数互质的概率等于上面各个概率乘起来，

这个表达式等于什么？仔细看一下，你就会发现，它就是s = 2的时候欧拉乘积公式右边那个连乘的倒数！因此，它等于s = 2时欧拉乘积公式左边那个连加的倒数，也就是1/ζ(2)。

真是妙啊！现在问题变成了，ζ(2)等于多少？根据定义，

也就是所有自然数的平方倒数的和。请问，它等于多少？

回答是π²/6，约等于1.6449。咦，在这里为什么会出现圆周率？这当然是有原因的啦。事实上这个等式又是欧拉证明的，这是欧拉的成名作之一。这个证明十分有趣，不过要用到微积分，许多同学们还没有学过，而且这个证明不是我们当前必需的，所以在这里我们就不讲了，有兴趣的同学请自己查阅文献。

欧拉

对于当前的目的，把ζ(2) = π²/6代进去，我们就知道了：两个自然数互质的概率等于6/π²！数值计算一下，它约等于60.79%。

这个结论对不对呢？我们还可以用计算机来验证一下。

我的朋友、风云学会会员陈经是计算机专家，他帮我写了一个程序，在1到32768（即2的15次方）之间随机取两个自然数，看它们是否互质。在测试1千万次后，发现两个自然数互质的次数总共有6080726次。因此在这个测试中，两个自然数互质的频率是60.80726%。请看，它跟理论值60.79%是多么接近！

事实上，如果你学过数值分析，你就会知道这是一个相当粗糙的数值实验。在你考虑全体自然数的性质的时候，32768这个取值上限实在是太小了，小得有点令人发笑。以后我们会讲到一个例子，算到1千亿亿都不足以保证结果成立。我们重复一下，1千亿亿！这是一个令人惊掉下巴的例子。但在这里，令人吃惊的却是，对32768这么小的样本取样，就足以得到十分接近理论值的结果。这说明，两个自然数互质的概率这个问题，随着取样范围的增大，收敛得是非常快的。

你看，我们是不是通过研究ζ函数，对质数的分布获得了惊人的结果？

根据同样的推理，我们很快会发现，任选s个自然数，它们互质的概率就是1/ζ(s)。在这里需要说明一下，三个或更多个自然数互质的意思，是所有这些数的整体的公约数只有1，而不是其中任何两个自然数的公约数也只有1。例如考虑2、3、4这三个自然数，其中的两个数2和4不互质，但这三个数的整体是互质的，这种情况我们把它算作三个数互质。

根据这个定义，你很容易看出，s越大，s个自然数互质的概率就越大。因为随着s的增大，某个质数刚好是s个自然数的共同质因子的可能性，就越来越低了。

从ζ函数的角度来考察，也确实应该如此。当s > 1的时候，n^-s是一个减函数，所以ζ(s) = Σ_n n^-s也是一个减函数。随着s的增加，ζ(s)在减小，所以ζ(s)的倒数在增大，也就是说s个自然数互质的概率在增大。

好，现在让我们把视线投向任意正整数s对应的ζ(s)。

在这里可以告诉大家，对于正的偶数s，ζ(s)是可以快速求出的，而且其中总是包含圆周率π的s次方。例如ζ(4)，也就是所有自然数的四次方的倒数之和，它等于π⁴/90，约等于1.0823。由此可以算出，四个自然数互质的概率等于90/π⁴，约等于92.39%。

然而对于正的奇数s，ζ(s)的计算就会变得非常麻烦，很难有个简单的表达式。例如对于ζ(3)，也就是所有自然数的三次方的倒数之和，我们就只能说它约等于1.2021。你要是想把它精确地表示出来，就只有一些比较复杂的积分或者无穷级数或者连分数的表达形式。

无论如何，根据ζ(3) ≈ 1.2021，我们可以算出三个自然数互质的概率约等于83.19%。从两个自然数互质的概率60.79%，到三个自然数互质的概率83.19%，到四个自然数互质的概率92.39%，我们看到它们确实是在上升的，符合预期。

随着s趋于无穷大，ζ(s) = Σ_n n^-s当中只有第一项1不受影响，后面的项都迅速地趋近于0，所以ζ(s)会趋近于1。相应的，s个自然数互质的概率也确实会趋近于100%，这都是很容易理解的。

你也许会问：s只能取整数值吗？当然不是，它完全可以取3/2（也就是1.5）或者1.6或者π等非整数的值。对于非整数的s，ζ(s)仍然是有明确定义的，只不过这时不能跟所谓“s个自然数互质的概率”联系起来了。你可以计算ζ(3/2)，它约等于2.6124，但你无法谈论所谓“1.5个自然数”。

如果你对分数指数感到迷惑，请翻一下高中数学课本就知道了。这里可以提示一下，一个数的3/2次方，等于它的三次方的平方根。而一个数的π次方，就等于它的3次方、3.1次方、3.14次方、3.141次方、3.1415次方、3.14159次方等等这个数列的极限。

现在，我们对ζ函数增加了许多了解，明白了它跟质数有深刻的联系，并且知道了它在若干个点上的取值。现在，你是不是对这个函数感到很亲切，而不会感到恐惧了？

不过我们必须强调一下，到目前为止，所有的s都是大于1的。你也许会问，ζ(1)等于多少？也就是说，所有自然数的倒数和等于多少？在数学上，我们又把它称为调和级数（harmonic series）。

现在，一个关键点来了：ζ(1)等于无穷大！也就是说，调和级数是发散的！

为什么会这样？让我们把ζ(1)的表达式写出来，就能够做下面的推理：

最后那个式子中，随着项数的增加，会出现无穷多个1/2。无穷多个1/2加起来当然会大于任意的有限值，因此最后的式子是发散的。而ζ(1)比它还要大，所以当然也是发散的。

如果你觉得上面的表达方式不太严格，那么我们真正想表达的意思是：对于任意大的自然数k，都有下面的不等式。

实际上，调和级数虽然是发散的，但它发散得非常慢。把前面的10的43次方项加起来，都没有超过100。10的43次方是多少？一亿是10的8次方，所以10的43次方就是1千亿亿亿亿亿。用物理世界举个例子，整个宇宙的半径大约是137亿光年，量级是10的26次方米，一个原子核的半径是10的-15次方米的量级，宇宙半径除以原子核半径也不过是10的41次方而已，还要再乘以100才能达到10的43次方。想想看，1千亿亿亿亿亿个数加起来，都没超过100！这是怎样的一种增长速度啊！

为什么会这样呢？原因又是欧拉告诉我们的。欧拉证明了，调和级数的增长速度，大致就是自然对数的增长速度。如果你没学过自然对数，那么可以简单解释一下：常用对数（经常写成lg）是以10为底的对数，而自然对数（经常写成ln）是以e为底的对数，这里的e是一个常数，约等于2.71828。为什么要以这样一个数为底？因为在数学上，lnx具有许多很好的性质，处理起来比lgx方便得多。其实在数学中，自然对数才是“常用”的，比所谓“常用对数”常用得多。

欧拉

更具体地说，欧拉证明了，调和级数的前n项之和约等于lnn，而随着n的增大，它们的差值会趋近于一个常数γ：

这个常数叫什么名字呢？当然，又叫做欧拉常数（Euler’s constant）……咦，我为什么要说“又”呢？

欧拉

我们可以用两个面积的差来形象地表现欧拉常数。一个面积是一系列的矩形之和，它们的宽度都是1，而高度从1到1/2，到1/3，到1/4，如此等等，一路下降。另一个面积是y = 1/x即倒数函数曲线下面的面积，即图中的深红色部分，数学家会告诉你，它就等于lnx。这两个面积的差，就是图中的蓝色部分。

用面积表示欧拉常数

你会看到，在每一个矩形中，矩形的面积都大于倒数函数曲线下方的面积，但相差得越来越小。当x趋于无穷的时候，蓝色部分的面积就趋于一个有限值，它等于欧拉常数。

了解了调和级数即ζ(1)的发散性质以后，让我们回到欧拉乘积公式。在上一期中我们说过，欧拉乘积公式只在s > 1的时候成立。有同学问我，欧拉乘积公式的推导过程好像跟s完全没有关系，那么它是不是对于任意的s都成立呢？回答是：不行，只有对大于1的s才成立。

这是因为我们的推导过程有一个前提，就是ζ(s)是一个有限值，或者说ζ(s)是收敛的。只有在这个前提下，才能把它当成一个正常的数进行种种操作，例如乘以1 - f(2)，消去所有包含2n的项。但假如ζ(s)是发散的，那么这样的操作就毫无意义，有可能导致各种各样的错误。例如你经常听说的所谓“全体自然数的和等于-1/12”，就是这样的一个错误！

在欧拉那个时代，许多数学知识的基础定义还不够严格，数学家还经常搞一些有越界之嫌的操作，欧拉就搞了不少。而现代的数学家是非常注重严格性的，他们给你看的证明，一定都是保证了可靠性，每一步都有精确定义的。我虽然不是数学家，但我给你看的证明，也一定是保证了可靠性的。

既然ζ(1)是发散的，那么你很容易发现，当s < 1的时候，ζ(s)会变得更大，当然就更是发散的了。因此，对欧拉ζ函数的研究，只能在s > 1的范围内进行。从中我们确实能得到一些有趣的结论，例如s个自然数互质的概率等于1/ζ(s)，但这些毕竟还是对质数分布的间接了解，直接的了解还很欠缺。

如何才能对质数的分布获得更加深入的了解呢？

我们的大事件来了：你的好友黎曼已上线！欧拉ζ函数升级为黎曼ζ函数！

黎曼