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学习就是记忆与遗忘的斗争...

（接上回*）温习有关命题（叙述）。默写或看原文。

Th1.6（控制花费定理）。这个还记得。先写出简记：

A     M

.

X     B

大概是这么几个条件：

(X, B) is projective eps-lc (PE);

A is a very ample divisor on X with A^d<=r;

A - B is ample;

M>=0 is a R-Cartier R-divisor with |A-M|R ≠ Φ.

结论：存在 t>0，使得

lct(X,B,|M|R)≥lct(X,B,|A|R)≥t.

评论：在该文章中，(X, B) 有点像坐标系，起到参照作用（我是这么看的）。在定理1.6中，主角儿是 A，把它放到(X, B)中加以考察/衡量。由于 |A|R 是线性系统，象征权力，lct(X,B,|A|R) 是在(X,B)中对|A|R给出量化。此定理说，可以配置适当的条件，使得|A|R的量化具有上下界。lct(...) 无非就是个实值泛函。

.

Th1.1（主定理）。不大记得了。简记大概是：

X ~ KWF ==> {X} 有界。

条件：X are klt weak Fano varieties.

结论：{X} 有界.

注：原文的条件是另一种表达法：

1） (X, B) is klt for some R-divisor B;

2） -(Kx + B) is nef and big.

又注：所谓“Fano”，是指 -(Kx + B) is ample；如果 -(Kx + B) is nef and big，就成了 “weak Fano”。后者更厉害（nef and big --> nb -->暗示“牛逼”）。

评论：上面高亮的是记错了。分别改为：EWF, eps-lc.

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Th1.4（小花费定理）。不记得了。好像是有关下界。原文条件：

1）(X, B) is a projective eps-lc pair of dimension d, and

2）A:= -(Kx + B) is nef and big.

结论：存在t>0 使得 lct(X, B, |A|R)>=t.

评论：第一个条件与Th1.6一致，第二个条件又“搭到”了Th1.1. 简记如下：

P-EWF(A) ==> lct(X, B, |A|R)>=t.

注：“花费”是针对 A （或|A|R），“小”是指“下界”。从名称上，可以联系到Th1.6（部分条件、结论）；从条件上看，又好像是Th1.1的变体。

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小结：Th1.1、Th1.4、Th1.6三个绑到一起记忆，可能会牢靠一点。（Th1.1和Th1.4好像能够“互推”）。

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附：调用备忘。

Th1.1

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... Th1.4 ...

        |

 Th1.6(<=d)           Th1.1(<=d-1)                        Lem 3.2

       |                                                                           |

Pro5.9(3)      Lem2.3       Pro5.7         [Th1.6(<=d)    Th1.1(<=d-1)]   Pro3.1

引注：Th1.4也只是个“壳”，功夫在Th1.6和Lem3.2。

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