[注：下文是单位群邮件的内容，标题是后加的。略修订。]

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不，黎曼－洛赫定理不是一个关于簇的定理，而是一个关于簇间态射的定理...*。

范畴论的基本哲学...应该更加注意的是对象间的箭头（态射），而不是对象自身*。

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（接上回*） <~温习~> 有关lc的概念（参2.2*）。

这就关乎 sub-pair 的概念，即 (X, B)，其中：

• 1. X 是 normal quasi-projective variety，简记 Xnq；

• 2. B 是 R-divisor 且系数在(-oo, 1]内，简记BRd1；

• 3. Kx + B 是 R-Cartier，简记(Kx + B)Rc. 

若B>=0，则称 (X, B) 为 pair。此时B 称作 boundary。

注：B的系数条件可看做模式（"标准上界集"，记作“1”）。B 姑且看做实函数。简记：

(Xnq, BRd1) ~ (Kx + B)Rc

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上面涉及到R-divisor，参2.1*。那里的第一段是这么写的：Let X be a normal variety and D = Sum di Di be an R-divisor where Di are the distinct irreducible components of D. The coefficient di is also denoted as muDi D.

评论：

1. X 是...D是...这种句式给人一种印象，好像 X 和 D（或Di）有某种内在的关联性。D的分解式是相对于 X 而言的吗？文中也没这么说。

2. Di是D的distinct不可约分量。可约或不可约的“标准”是什么？（正是这一点使我想到，X或许起到某种参照的作用，待考）。

3. 系数di 的另一种表示是 muDi D. 其中，mu的下标是Di，它是D的不可约分量。这种表示可以显示出Di和D。sub-pair里提到B的系数在(-oo,1]内，即指所有 di<=1。

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再返回2.2. 第二段定义了泛函 a(D, X, B):=1 - muD Bw，其中 D 是 “a prime divisor” . 表达式中的 “muD Bw” 代表 Bw 的分解系数，mu的下标 D 是 Bw 的不可约分量。

注：prime divisor 大概就是 irreducible divisor。待考。

评论：

1. 看上去只有一个分量，也就只有一个系数，即：Bw = d D，其中 d = muD Bw。待考（不止一个分量。这里只是诸分量任意之一）。

2. 配对的分类条件“for every D”都成立，从而Bw的每个系数d<=1(<1)(<1-eps)。

3. 上面的“every D”从哪里来的？或者说，相对于什么而言的？（每个D是指 Bw 的所有不可约分量吗？肯定是，参要点3）。

4. log resolution 似乎是由(X, B) “算”出个 W（也是variety），于是可以选择 Bw 使得 (W, Bw) 也是 sub-pair (或 pair)，意味着W与X同类别同属性，Bw是Rd1（与第2点兼容），同时 Kw + Bw 是 R-Cartier的。

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要点：

1. sub-pair由 Xnq 和 BRd1 及条件(Kx + B)Rc 定义。

2. R-divisor 可以做不可约分解。

3. log resolution 导致 由 (X, B) 得到 (W, Bw)，再由Bw的不可约分量定义log discrepency（即泛函a），从而对(X, B) 分类。

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领悟：

1. 配对的分类定义似乎只是“预编程”、做个套儿。

2. 为了对(X, B) 分类，映射出另一配对(W, Bw)，用后者的不可约分量系数定义泛函，进而用泛函值来分类。

问题：干嘛不用 1-muD B 定义泛函，而是跑到“像空间”里做？（配对有点象空间或坐标系，都是由符合条件的对象及特定的关联构成）

可能的回答：也许这样做更具有一般性(?)。

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