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第八期【活学活用】怎么用声音来测一根管子有多长？

一、前言

接下来几期将告诉大家怎么制作管乐。我将会制作排箫，笛子，竹唢呐这三件乐器，它们是三种不同类型的代表。在开始准备讲一讲管乐的发声原理，但又担心枯燥。

所以，干脆给考考你，假设给你几根管子请您测量它的长度，不能用尺子，只能用声音，可以吗？

这个要是弄明白，你一定已经清楚了管乐的发声原理了。

二、什么是声波

声波是发声体的振动在空气或其他介质以波的形式向外传播的一种波。

声波可以写成空气质点速度振荡的形式：

声波是一种纵波，空气质点的振动方向始终与传播方向相一致。

也可以写成压强变化的形式：

空气中的声阻抗=声压/空气质点的速度=密度*声速=440 kg/(m2*s)。声阻抗是实数，说明质点速度和压强的是同相位的波动，质点速度最大的地方，压强也是最大的。

人耳对1000Hz的声音的听阈声压2*10-5 Pa，这是人耳能听见的最小的声音。声压除以声阻抗得到空气质点的速度，算得此时空气质点的振动速度=6.4e-08m/s。(注意这里的声压是等效声压，要乘以根号2才等于pmax)

二、什么是驻波？

当一列声波向左传播的同时，另一列同样频率的声波向右传播。这两列波相互叠加之后，就会形成驻波：

驻波有的地方振幅始终为零，叫做波节，有的地方振幅始终为最大，叫做波腹。驻波波节与波节之间的距离为波长一半。

当一列向左传播的波遇到壁面完全被反射后，也会形成这样的驻波。

三、管乐的发声原理

为什么用耳朵听暖瓶总会有嗡嗡的声音？在用暖瓶接水的时候，为什么“嘟噜嘟噜”的水声音调会越来越高？因为暖瓶是一个谐振腔，某些频率的声音会与谐振腔发生共振而被放大了。

考虑一维的谐振腔——一根细长管（长为L），一端开口一端密封。管内气柱振动为驻波，有如下几种共振模态：

图中y方向仅仅表明了空气振动速度或压强的大小，不代表振动的方向，在细长管内空气振动只能沿着管道的方向。

一阶模态：n=0，波长=4L,本征频率为

二阶模态：n=1，波长=4L/3,本征频率为

三阶模态：n=2，波长=4L/5,本征频率为

如果将有一根管子，一端密封，一端轻轻吹气，当气流的速度角度刚好合适的时候，管子就像排箫一样发出声音。因为气流经过管口就会形成振荡的涡流，当管子内谐振腔的本征频率与气流的频率相等时，发生共振而发声。其声音的频率与管子的长度呈反比，为：

有了这些小知识之后，接下来活学活用，测量3根不同长度的管子！

四、如何听出一根管子的长度？

你最好具备一个技能，能把管子吹响。大拇指堵住管子的一端，同时嘴唇微抿均匀向下吐气。

如果你有钢琴的话，你可以听到这个音的音高介于小字2组的f2#和g2之间，主频约为740-784Hz之间。

当然我们也可不用那么虐待我们的听力，通过Fourier变换就很容知道主频为770Hz。和听到的差不多。

计算得到管子的长度为

用卷尺测得1号管子的长度是107mm。

二者相差了4mm，相对误差为3.6%。为什么呢？这是因为管子的音高除了和管长有关之外，还与管径有关。需要对等效的管长进行修正：L等效=L实+a*R。查了一下据说Rayleigh做了实验，得出的矫正量大小为0.62R，我没有看过原文，就暂且相信了。（题外话：大名鼎鼎的Rayleigh，博士5年间Rayleigh、Marangoni、Benard这几个人的名字念了不下千遍，在这里又能遇见Rayleigh，缘分啊。）

言归正传，管子的内径为6.5mm。

最后测得1号管子的长度：

L实际=L等效-a*R=111-6.5*0.62=107mm，似乎完美~

五、超吹了怎么办？

问题来了，一根管子能吹响的频率并不是单一的，它会有超吹的现象。超吹在管乐中非常常见，闭管乐器（如排箫）它是五度超吹的乐器；而开管乐器（如笛子）是八度超吹的乐器，当加大气流，可以吹出高八度的音。

这根2号管子能吹响的音调有两个。

当吹气速度较小时，这个能吹响一个频率较低的音。主频约为354.9Hz.

当加大吹起速度时，能吹响一个音调较高的声音，主频是1058Hz。如果刚才哪个声音唱do的话，这个声音唱高八度的sou，俗称“五度超吹”。

这是加大吹起速度，气流振动的频率增高，当与二阶模态的主频接近时，会激励出二阶模态振荡，此时的频率就增高了三倍。

我们分辨出一阶模态之后，带入公式。

最后测得2号管子的长度：

用卷尺测得2号管子的长度是238mm

六、管子吹不响怎么办？

看看这根管子！

不管怎么吹，都只有呲呲jiujiu的声音，怎么办？没关系，录下来，分析它的频谱。

其实我们发现两个相邻的两个泛音之间，频率始终相差

所以我们只要频谱上相邻的两个尖峰相差多少频率？108.7Hz

最后测得3号管子的长度：

用卷尺测得3号管子的长度是1563mm。

也许是管子越长，测量的误差就会越小。

七、下期预告

下期将用PVC管做一支排箫。PVC管很容易买到（6米长花了6元），你也可以试一试。这一期弄懂了发声的原理，想必要设计做出来也不难。也是头一次做，能不能做成，拭目以待吧！

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