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前面讲过了电感L会导致电流滞后,电容C会导致电流超前,那么把R、L、C串联在一起会发生什么情况呢?
U为正弦电压时,这个电路有3个电位点D、E、F,可以用示波器观察三个波形,也可以用交流电压表测量UD、UE、UL、UR、UC。右方的动态图反映了某种情况下这5个电压随时间的变化,以前是用指针表或者颜色变化来表示的。动态图中UF就是UL,其实应该还有一个电压UDF,但我不想把下标有两个字母的电压添进来。
相量法可以说是天才想出来的解法,解题很方便,但也有可能让我们错过上方右图这种精彩的动态过程。设感抗为XL、电阻为R、容抗为XC时,这个电路的相量法求解思路如下:
交流电压表测出的UR≠UE-UL,如果L是理想电感,那么这三者会构成一个直角三角形。UC、UD、UE也会构成一个三角形,但不一定有直角。这并非意味着KVL不再成立,如果能测量某一时刻的瞬时值u,会发现uR=uE-uL,uC=uD-uE。另外,虽然没有测量电流,但UR的变化和电流变化是同相位的。
正弦信号作用时,感抗XL=ωL,容抗XC=(ωC)-1,两者相等的状态为谐振状态,此时可以算出一个谐振角频率ω0,接下来我准备设定参数制作0.5ω0,ω0,2ω0时,电压的相初始时刻的相量图、静态的正弦图以及电压瞬时值变化的动画。
模型参数:
U=6.00mV、R=2.00Ω(电流有效值小于3.00mA,一般不会烧元件)
C=125μF、L=0.500mH、可算出:ω0=4000rad/s
(此时 f 约为637Hz,为方便建模,忽略电磁波辐射效应。相量图和正弦图里都是用的有效值,若考虑最大值则需要乘1.414)
一.0.5ω0的情况
计算后可以画出初始时刻的相量图和静态的正弦图:
分析:
1.电流可以根据uR与R算出,最大值约1.57mA,一般不会烧元件。
2.相量图中U、UL、UR、UC构成直角梯形,且符合相量加法。直角梯形的另外一条对角线就是我没有考虑的UDF。
对于RLC串联电路,ω较小时,XL较小,串联分压UL也较小,XC较大,串联分压UC也较大。这种情况下,uC最大值大于电源电压最大值,有可能导致电容损坏。
3.从电容充放电的角度分析:uC大于零时的状态为电容的正向充电和正向放电过程,uC小于零时的状态为电容的反向充电和反向放电过程。根据相量图,uC滞后uD约30°,根据正弦图,电容的充电开始于uD的上升阶段。uD开始下降时,uE会以更快的速度下降,相当于电感在拉电容负极板的正电荷,维持电容的充电状态。一直持续到uR为0,充电电流为0时,充电才结束。这时uC最大值已经大于电源电压最大值了,如果不注意很有可能炸电容。
4.正弦图横坐标为时间,每一时刻uR=uE-uL,uC=uD-uE都成立。
5.静态的正弦图包含了下面动画里的信息,但是一般的人不一定能联想到这一点。右方电压的大小为左方相量在虚轴的投影长度,由于是两个gif,时间久了不一定能对应起来。uL是孤独的领跑者,看上去和uF成双结对,其实后者只是他的影子。
二.ω0的情况
计算后可以画出初始时刻的相量图和静态的正弦图:
分析:
1.电流可以根据uR与R算出,最大值约4.24mA,一般不会烧元件。
2.相量图中U、UL、UR、UC构成正方形,且符合相量加法。对于RLC串联电路,谐振时,XL与XC相等,串联分压UL与UC也相等。这种情况下,uE最大值大于电源电压最大值,但不清楚会对元件有什么影响。
因为参数设置的问题,这里的XL、XC大小与R相等了,这只是个巧合。改变R的大小后UR不会变,从正弦图中也能看出,uL、uC互相抵消导致瞬时值uR、uD完全重合。但电流会变,将导致uL、uC振幅同时增大或减小,有可能大于总电压,也有可能小于总电压。最终U、UL、UR、UC四个电压相量将构成矩形。uE达到最大值时,uR、uL恰好相等也只是巧合,改变R的大小后两者将不再相等。
如果R不变,RLC串联谐振时阻抗最小,电流最大。估计是受到了“电流最大”的影响产生的,画图之前我有:“RLC串联谐振时,UL、UC远大于总电压U”的观点,加个“有可能”会更好一点。而且如其他两种情况所示,即使不在谐振状态,UL或UC也有可能大于总电压U。(此段根据在3楼的留言做出了修改。)
3.从电容充放电的角度分析:根据相量图,uC滞后uD恰好90°,根据正弦图,电容的充电开始于uD达到最大值并开始下降的时刻。uR、uD为0时,充电电流为0,充电结束。由于充电开始得太晚,所以uC的最大值没有第一种情况那么大。
4.正弦图横坐标为时间,每一格的时间为第一种情况的一半。每一时刻uR=uE-uL,uC=uD-uE都成立。
5.时间动画如下:UD与UR最大值相等、UL与UC最大值相等。但由于参数的问题,四个电压最大值都相等了。下方是左右两个gif,时间久了不一定能对应起来。
三.2ω0的情况
计算后可以画出初始时刻的相量图和静态的正弦图:
分析:
1.电流可以根据uR与R算出,最大值约1.57mA,一般不会烧元件。
2.相量图中U、UL、UR、UC构成直角梯形,且符合相量加法。对于RLC串联电路,ω较大时,XL较大,串联分压UL也较大,XC较小,串联分压UC也较小。这种情况下,uL、uE最大值均大于电源电压最大值,不清楚uL太大是否会导致电感损坏。
3.从电容充放电的角度分析:根据相量图,uC滞后uD约150°,根据正弦图,电容的充电开始于uD下降到约最大值一半的时刻。uR、uD为0时,充电电流为0,充电结束。由于充电开始得太晚,所以uC的最大值比第二种情况还要小。
4.正弦图横坐标为时间,每一格的时间为第二种情况的一半。每一时刻uR=uE-uL,uC=uD-uE都成立。
5.时间动画如下:下方是左右两个gif,时间久了不一定能对应起来。右图中,uC因为滞后太多,大部分时间是自己一个电压孤零零的位于横坐标的一方追着uR,看着有点心酸。刹那的相逢,一生的追逐……
后记----------------------
1.uL小于零时的状态为电感的正向放磁和反向充磁过程,uL大于零时的状态为电感的反向放磁和正向充磁过程。可以试着从这个角度分析uL或电流的变化,下周试着做个RLC并联的好了。
2.一直不知道是谁第一个提出相量法,只到看了这个链接才知道是德国人C.P.施泰因梅茨(1865~1923)于1893年提出。
3.电工里的相量是相位复矢量,英文应该是complexor,只有二维。
相量的英文还有phasor,应该是那种横坐标x,纵坐标v的相量吧。
矢量的英文是vector,一维到n维都可以,三者还是有些区别。
另外,有的教材写的“向量”应该是矢量而不是相量。
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这次的动画用的是几何画板,是以前一个教数学的聪明的小姐姐介绍给我的。如果看这篇博文的是女生,可以试着把这个软件介绍给明年新来的学弟。软件网址
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