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前几天在Bertrand悖论的博文里简单的分析了三个解,从弦的中点出发是个很好的着力点,知道了弦的中点,就能算出弦长,中点不在圆心时,连方向都能定下来。1/4的解法要求弦的中点在圆内均匀分布(x-y坐标系),1/2的解法要求弦的中点在直径上均匀分布(r-θ坐标系),这两者显然不是等价的,所以才造成了不同的结果。那么1/3的解呢?1/3的解要求弦的中点在什么地方均匀分布?
1/3的解法里面,弦的中点构成了一个以大圆半径为直径的小圆,这些小圆会铺满整个大圆,但小圆的交点作为弦的中点没必要重复计算2次,只需要一半的圆就行。下面有四张动画来帮助理解。
利用这一点我们可以建立一个φa-φb坐标系,下图中蓝线与绿线夹角为φa,可以从0变到π;绿线与x轴夹角为φb,可以从- π变到π。
小圆半径a为常数,那么对于任意一点A:
xA=a(Cos[φb]+Cos[φa+φb])
yA=a(Sin[φb]+Sin[φa+φb])
rA2=2a2+2a2Cos[φa]
θA=0.5φa+φb
xA和yA的公式还可以用和差化积继续化简。
这里一共出现了6个变量:x、y、r、θ、φa、φb。回到Bertrand悖论,随机弦是一个复杂的概念,有长度,有方向。1/4的解法认为x、y是随机数,1/2的解法认为r、θ是随机数,1/3的解法认为φa、φb是随机数,但是任意2个随机数组合起来就不再随机。看看上面那些公式,φa、φb为随机数时,x、y、r、θ将不再有随机性,不再等概率。同样的,如果x、y为随机数,或者r、θ为随机数,都将改变另外4个变量的随机性。弦长能用r算出来,r的分布图像的不同会导致弦长分布图像不同,进而影响弦长概率的计算。
编程计算后发现,Bertrand悖论的三种方法分别对应三种坐标系下点的均匀分布,我这里的“均匀分布”是把坐标系分量变成横坐标和纵坐标,如果任意相邻两点间距相等,则为“均匀分布”。图片有27张,放在下面三个链接里面:
3.概率为1/4时,弦的中点在x-y坐标系中均匀分布。且通过圆心的弦只有一根。
弦的中点分布情况决定了不同弦长的弦出现的概率。
最后再举个简单的例子来说明这个悖论吧:
题目:12个数字里面随机抽1个数字,大于10的概率是多少?
A:在1,2,3,4,5,6,11,12,13,14,15,16这12个数字里,随机抽到的数字大于10的概率是1/2;
B:在1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,14这12个数字里,随机抽到的数字大于10的概率是1/3;
C:在1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13这12个数字里,随机抽到的数字大于10的概率是1/4;
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GMT+8, 2024-8-27 07:20
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