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在李泳博主那里看到了Bertrand悖论:
在圆中“随机”画一根弦,其长度大于内接正三角形边长的概率。分别以弦的端点、半径和中点的角度考虑,可以得出三个不同的答案(1/2,1/3和1/4)。
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当时没看懂,就自己画了几个图。
1.几率为1/2的情况
如下图,AB为直径的1/2,画弦时,CD小于边长,EF大于边长。需要假设中点在直径上等概率分布
2.几率为1/3的情况
如下图,∠ACB为π的1/3,画弦时,CD小于边长,CF大于边长。需要弦的方向等概率分布,即任意相邻两共端点的弦夹角相等,由于这个夹角是圆周角,圆周角相等意味着弦长相等,弦长相等意味着内接正多边形。所以这个要求可以等效为需要弦的端点在圆周上等概率分布。
3.几率为1/4的情况
如下图,小圆面积为大圆面积的1/4,画弦时,CD小于边长,EF大于边长。需要假设中点在圆内部等概率分布
4.几率不同的原因
“中点在直径上等概率分布”、“弦的端点在圆周上等概率分布”、“中点在圆内部等概率分布”这三个条件不是等价的,用几何画板可以画正十七边形,满足“弦的端点在圆周上等概率分布”,那么一共有136根弦,如下图:
从下图看,靠近圆心的位置弦的中点更密集,出现的概率更大,不满足“中点在圆内部等概率分布”
这些中点构成了8个同心圆,量一下这些圆的半径后发现:远离圆心时,半径差在减小,说明在直径上,出现中点的概率并不是相等的。不满足“中点在直径上等概率分布”,
和百度百科的结论一样,但不清楚该如何证明。那上面还有一个图片,不知道谁做的。
进一步的研究:Bertrand悖论浅析02
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GMT+8, 2024-8-27 05:39
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