自由落体运动中的概率幂律分布

美国归侨冯向军博士，2017年6月15日写于美丽家乡

 在《组成论》中【1】，张学文先生发现了自由落体运动中一个作为概率密度而不是直接作为概率的幂律分布：位置概率密度。本文中要讨论的是自由落体运动中另一种直接作为概率的幂律分布。

 【定义】倒速度RV为运动物体移动单位距离所需要的时间。倒速度RV对运动物体而言是有十分明确的物理意义的量，其单位是秒/米。移动单位距离所需要的时间越长，倒速度RV就越大，移动单位距离所需要的时间越短，倒速度RV就越小。倒速度RV的数学表达式是

RV = dt/dx

这其中，x为位置变量，而t为时间变量。对于自由落体运动，假设t=0时，x=0，dx/dt =0,则有

x=(1/2)gt^2

t=(2x/g)^(1/2)

仅考虑x > 0的情形，

RV=dt/dx=(1/g)(2x/g)^(-1/2)=(1/g)*(1/sqrt(2/g))x^(-1/2)

或

RV=1/sqrt(2g)x^(-1/2)，这其中g为重力加速度，g = 9.8(米/秒^2)。

 可见倒速度RV是关于位置变量x的幂律函数。在《关于决定性事件的概率论》中，函数值一旦归一化，一般就变成了与函数具有同样变化规律的一种概率分布，这种概率分布符合概率公理。假设自由落体物体离地面的初始高度为H=30米。自由落体物体运动至地面的总运动距离则为H = 30米。将这个总运动距离n等分，则得到物体自由落体过程中的n个 > 0的位置变量的样本值x1，x2，...，xn以及相应的n个倒速度变量的样本值RV1，RV2，...，RVn。

令 RVT = RV1 + RV2 +...+RVn，则RVT可视为倒速度样本算术平均值的n倍，单位为秒/米。于是有倒速度概率分布

pi = RVi/RVT = (1/RVT) * 1/sqrt(2g)xi^(-1/2)，（i = 1，2，...，n)

p1 + p2 + ...+ pn = 1

 显然，倒速度概率分布是关于位置变量的幂律分布。具体计算结果如下图一所示。

图一 倒速度概率p随位置x变化而变化的情形。

图二 验证倒速度分布p确实为关于位置x的标准幂律分布

 我们要问从《关于决定性事件的概率论》来看，倒速度概率这个标准幂律分布的成因是什么？不失一般性，假设变量q服从约束条件：log（q)的统计平均值为常数。由平等遍历度和约束条件所构成的拉格朗日算子为：

L = -p1log(p1)-p2log(p2)-...-pnlog(pn) + C1(p1 + p2 + ...+ pn -1) +

+ C2(p1log(q1) + p2log(q2) +...+ pnlog(qn) - C3)

对L求一阶偏导数dL/dpi并令之为零，就有：

dL/dpi = -log(pi)-1 + C1 + C2log(qi) = 0，(i = 1,2,...,n)

pi=exp(C1-1)(qi）^C2，(i = 1,2,...,n)

又因为拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是负定的主对角线上元素恒负而其余元素都等于零的对称矩阵，因此上述令拉格朗日算子的一阶偏导数等于零的幂律分布确实是令约束条件下的平等遍历度取极大值而符合最大平等遍历度原理的分布。

对于上述自由落体运动中的标准幂律分布倒速度概率，待定常数C1 = log((1/RVT) * 1/sqrt(2g)) + 1 = -0.8248，而C2 = -0.5。由此可见本文中的标准幂律的成因是如下所示的约束条件（对可能的概率分布选择范围的约束）：对于位置变量x，log（x)的统计平均值为常数:

p1log(x1) + p2log(x2) +...+ pnlog(xn) = 常数C3

参考文献

【1】张学文，《组成论》。