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角动量守恒定律下的离心机

已有 2007 次阅读 2018-3-13 07:30 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 角动量守恒定律, 离心机

题记:不小心卷入一桩案子,是关于生物学和医学学生如何正确操作与使用离心机的案子,这件案子还居然引发研究生和导师之间莫大的争议甚至争吵。其实这事情的物理学原理非常简单,1900年大清帝国还健在的时候西方国家都已经彻底解决了,而今都2018年了某个古老的神圣帝国中还在因为这件鸡毛蒜皮的事情大伤脑筋,大伤元气,大伤和气。唉!说多了都是泪!还是直奔主题吧。

 

 

围绕一个轴旋转的物体具有角动量,理想情况下质量为m小球被一个无质量的绳子拉住绕轴转动,如下图所示。

 

这里角动量L描述,等于半径r和动量P的乘积, 动量P等于小球的质量m和运行速度V的乘积,这里rm是标量,只有大小没有方向性,而LPV都带有方向性,是矢量,LPV的方向和半径r垂直,是切线方向。

 

角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。如果有多个物体绕轴旋转的时候,L= L1+ L2+ L3+ ***  +Ln= 0,可知角动量不随时间变化。如果L不为零,如果轴是固定的,那么旋转时候L的大小不会变,但是方向就是一直变化了;如果轴不是固定的,整个系统就要飞出来了。这是角动量不守恒。

 

角动量守恒实质上对应着空间旋转不变性。例如,当考虑到太阳系中的行星受到太阳的万有引力这一有心力时,由于万有引力对太阳这个参考点力矩为零,所以他们以太阳为参考点的角动量守恒,这也说明了行星绕太阳公转单位时间内与太阳连线扫过的面积大小总是恒定值的原因,因此夏天时候地球距离太阳近的时候公转快,冬天离地球远的时候公转慢 (注意,地球自转速度可是恒定的,即一天24小时是固定的)。

空间旋转不变性,就是群论中的旋转对称轴,C2C3,,,CnC2意思是旋转一周重合两次,如扁担按照中心旋转;C3表示旋转一周重合三次,如等边三角形沿着中心旋转(如果沿着某个角的顶点转转就是C1轴);这样,长方形最高有C2轴,正方形具有最高的C4轴,六边形具有C6轴,圆具有Cn轴,这里的n是多大,不知道,应该是无穷大。

 

 

这就轮到说说离心机了。假定离心机有24个试管孔,因为24= 2X2X2X3 那么这个系统具有的旋转对称轴是,C2C3C4C6C8C12C24根据角动量守恒原理,能够放入的试管数目可以是2 3 4681224,这就是最优方案。这些足够日常使用了。

考虑到试管和孔的总和是24,根据互补性,也可以放入2221201816个试管,余下的孔也充分满足上面的旋转对称性。这是次优的答案,不建议经常使用。因为此时试管数目众多,难免液体质量有不够准确,高速运行时就会有扰动,产生进动(陀螺效应),对轴产生偏心的拉力,长此以往,轴会很快损坏。

还有几个数,1014的有些排列满足C2对称性,915的有些排列满足C3对称性,但是此时较大质量的液体沿圆周分布太不均匀,一定会产生进动效应,常用很快把离心机的轴磨坏,因此不是正确答案。

剩下的几个数字,1571113,19和23无论如何都不能摆放成为旋转对称性,是严格禁止的。

另外,使用离心机的时候,所有试管要尽量质量一致,内含液体也要尽量质量一致(一般假设他们密度相同因此体积要求相同也就是液面高度等同。)实际上,再精细也会有误差,就是这些小小的误差,在离心机高速转动时候产生陀螺效应,增加轴的磨损,最后离心机损坏,那就要换新的了。

还有其他数目的试管孔的离心机,比如6孔,8孔,12孔,甚至25孔,30孔,按照以上原理分析就能得出最佳答案。

    如果有学生按照重心的平衡原理摆放试管,离心机静止的时候是完美的,运行起来就需要满足角动量守恒了。

 




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