再论康托对角线证明是无懈可击的吗——数学迷思之八

前文“康托对角线证明是无懈可击的吗——数学迷思之七”中，笔者直接从逻辑前提得到了康托对角线证明法是存在问题的结论，过程忽略了。本文把论证的过程补充一下。

详细说明之前，在前文笔者逻辑的基础上再重申一下：在一个论域里，概念内涵（在本系列博文中，概念内涵也统一用测度来表示）不可随意改变，原因在于无穷集中的ε和∞有潜无穷、实无穷的双重性，随意变动ε和∞的无穷性质会产生“无中生有”，形成悖论。

一、康托尔对角线法证明问题分析

按∞的无穷性，分两种情况分析：

1、∞是潜无穷

如果∞是潜无穷，那么康托尔把区间[0,1]的实数列出来就是不可能实现的，因为潜无穷是一个永远无法穷尽的过程。所以不要说列出区间[0,1]的全部实数，哪怕就是列出一个无理数也是一个不可能完成的任务。没有了列出论域元素的前提，后面的讨论就完全失去了意义。

根据笔者的逻辑前提：（1）纯数也是有量纲的，对于实无穷的实数集就是ε（1/∞）；（2）两个集合进行比较，前提是二者有统一的量纲进行测量；（3）潜无穷集是没有量纲的。

泛泛而谈两个潜无穷集，我们既不能说∞=∞，也不能说∞不等于∞，因为对于潜无穷，演算是没有意义的：

∞+1=∞

∞+∞=∞

∞*∞=∞

∞*∞*……*∞*∞=∞

……

2、∞是实无穷，

∞是实无穷，那么区间[0,1]的实数就可以用编码来实现，由于编码选择有无穷多种，不失一般性，这里采用二进制编码，这样区间[0,1]实数的编码位数就是V=Log2(∞)，（注意，这里的V是一个确定的数！）

按照康托尔对角线证明中的假设，可以做出如图1所示的二进制编码表。编码表中的V表示的是[0,1]实数的编码位数，W是红色对角线的位数，W=√2V。显然该编码表完全编码了[0,1]的实数∞，即∞=2^V。

图1 二进制编码表

按照康托尔对角线证明中构造一个新实数的规则，新数的构造面临一个两难的选择：（1）如果新数的位数选择为V，那么V到W之间的位数就没有加入构造中，当然不可能产生新数，自然也就得不到矛盾的结论；（2）如果新数的位数选择为W，这样就会编码出一个新的数集，其个数K=2^W-2^V，这样虽然可以得出构造的新数不在区间[0,1]的结论，但是由于编码位数的扩大，已经改变了论域的范围，使得论域区间从[0,1]扩大大[0,√2]，所以也无法得出矛盾的结论。

在康托尔对角线原始证明中，新数的构造显然是选择了位数为W的构造方法，为了掩饰扩大了的论域[1,√2]，原始证明中，新数的构造前，“巧妙地”偷换了一次∞的概念，把∞从实无穷变成了潜无穷，新数构造完成以后，又再次“巧妙地”把∞从潜无穷变成了实无穷。这样一来一往，测度量纲单位就从ε变成了√2ε，使得新数构造前后的集合依然保持一一对应，最终得出其实数不可数的结论（其构思之精巧和诡异，的确令人叹为观止！）。

二、分析总结

根据以上的分析，总结如下：

（1）对应∞是潜无穷的情况，康托尔对角线证明是无法实施的，所以，在此情况下，实数是否可数的问题，依然是一个开放性的问题有待解决。

（2）对应∞是实无穷的情况，康托尔对角线证明是存在问题的，其证明的错误就在于两次偷换了∞的无穷概念，在此情况下，其所得结论是错误的，根据本文的论证，在∞是实无穷的情况下，“实数集是可数的”的结论是可以成立的。

（3）在上述论证中，采用了二进制编码，这并不会影响论证的结果，如果读者没把握，可以用其他大于2的进制推演，当然，本文中的二维表是不能再用了，读者需要根据所选择的进制构造相应维度的表格。

（4）有人也许会质疑V不会恰好是一个整数，这也没关系，你可以把V视为Log2（∞）的整数上界，这不会影响论证的结论。

（5）康托尔对角线证明存在问题，不会导致数学大厦的崩塌，接下来需要做的，只是对大厦做一些修补工作：严格区分实无穷和潜无穷前提条件下的不同。天塌不下来！

最后，针对以上论证是否有问题，笔者欢迎指正。