无中生有悖论之谜——数学迷思之二

S=0= 1/2= 2/2= 3/2=……= N/2=……

显然这是一荒谬的结论，为了找出原因，我们再重新推导一遍，与之前的推导不同，我们这次采用集合符号来表示自然数。

Φ=Φ

Φ=Φ+Φ+……+Φ+……

Φ={Φ}-{Φ}                                          ②

Φ={Φ，{Φ}}-{Φ，{Φ}}                              ③

Φ={Φ，{Φ，{Φ}}}-{Φ，{Φ，{Φ} }}                 ④

……

Φ={Φ，{Φ……{Φ}……}}-{Φ，{Φ……{Φ}……}}     ⑤

令S=Φ=Φ+Φ+……+Φ+……                           ①

把②代入①：

S={Φ}-{Φ}+{Φ}-{Φ}+……{Φ}-{Φ}+……           ⑥

S= {Φ}- ({Φ}-{Φ}+{Φ}-{Φ}+……{Φ}-{Φ}+……)    ⑦

S= 1-S

2S={Φ}

S= {Φ}/2

同理，

把③代入①：则S={Φ，{Φ}}/2

把④代入①：则S={Φ，{Φ，{Φ}}}/2

把⑤代入①：则S={Φ，{Φ……{Φ}……}}/2

结论：S = Φ= {Φ}/2= {Φ，{Φ}}/2= {Φ，{Φ，{Φ}}}/2/2 =……

= {Φ，{Φ……{Φ}……}}/2 = ……

根据集合的定义，可以把集合操作看做是划分或者是分类的操作，也就是对元素对象施加（）操作（这里“{}”与“（）”等价）。

对比一下⑥与⑦，是否有不同？是的，⑦比⑥多了一对括号（），而且这对括号是对一个无穷表达式实施了操作。正是这样的操作，使得0 = 1/2。

对比一下②与③，是否有不同？是的，③比②多了一对括号{}。

对比一下③与④，是否有不同？是的，④比③多了一对括号{}。

对比一下②与⑤，是否有不同？是的，⑤比②多了N-1对括号{}。

正是这些多出来的{}或者（），我们得到了一个悖论：

0= 1/2= 2/2= 3/2=……= N/2=……

由此我们可以得出结论：对无穷集合实施集合操作（划分或分类），必然对集合的运算结果产生影响，且运算结果的差异与实施集合操作的方式有关！（这个结论是否有点匪夷所思呢？是否能让你联想起物理学上某些同样让人匪夷所思的现象呢？比如量子坍缩！）

对于熟悉量子力学的人而言，数列：0, 1/2, 1, 3/2, 2,……是否有点眼熟呢？不错，量子力学中，自旋量子数只能是整数或者半整数(0, 1/2, 1, 3/2, 2,……)，量子力学的这个事实与我们推导的悖论有何关系呢？是巧合，还是有深刻的、必然的联系呢？（待续）