最近读了应行仁老师科普博文中关于数学的文章，颇有感触，因此有了写作“数学迷思”系列博文的想法，把自己对数学的一些疑惑和思索公开，希望能得到各位老师的指点。

从零说起（从空集说起）——数学迷思之一

众所周知，现代数学正在以前所未有的速度发展和扩张，按美国《数学评论》(Mathematical Reviews)杂志的分类，当今数学包括了约60个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计。人们常常把现代数学比喻成一株茂密的大树，它包含着并且正在继续生长出越来越多的分枝，而树根就是现代数学各分支的共同基础——集合论。

一、空集

现代数学的基础是集合论，集合论的起点就是空集。

空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。空集用符号0、φ、∅或者{ }表示。根据定义，空集有 0 个元素，或者称其视为0。在标准的自然数的集合论定义中，0 被定义为空集。

空集Φ有许多独特的性质：

（1）    空集是一切集合的子集。Φ只有一个子集，没有真子集。{Φ }有两个子集，一个是Φ一个是它本身。

（2）    空集是任何非空集合的真子集。

（3）    空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象。

（4）    空集既是开集、又是闭集。

需要特别说明的是，数学中的空集与哲学或宗教的“空”（或者“无”）有本质的区别。哲学或宗教的“空”是有绝对意义的、形而上的空无，是指“道可道，非常道，名可名，非常名”、“言语道断，心行灭处”意义上的空无。集合就是有，空集是不含任何元素的集合，并且可以用符号0、φ、∅或者{ }来表示的一个概念。理解空集，可以采用应行仁老师的比喻：将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的。

空集概念是数学与哲学、玄学或宗教的分水岭。

二、皮亚诺算术公理系统

自然数的算术运算是数学的最基本的内容，任何足够大的数学系统都是包含自然数加法和乘法的数学系统。

皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统（Peano arithmetic axiom，简记为PA）。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

①0是自然数；

②每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等）；

③0不是任何自然数的后继数；

④如果b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；

⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性。归纳公设可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。）

若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1。

更正式的定义：

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：

1、X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射；

2、x不在f的值域内；

3、f为一单射。

4、若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A, 则f(a)亦属于A则A=X。

根据以上的相关定义，可以做如下的符号推演（这里用{}表示集合操作，用Φ代表空集）：

Φ={}；

0=Φ={}；

1={Φ}；

2={Φ,{Φ}};

3={Φ,{ Φ,{ Φ}}};

……

N={Φ,{ Φ,……{Φ}……};(有N对大括号)

……

三、悖论

根据前面所述的概念和定义，做如下的推演：

0=Φ

0=0

0=0+0+……+0+……

0=1-1                          ②

0=2-2                          ③

0=3-3                          ④

……

0=N-N                         ⑤

令S=0=0+0+……+0+……       ①

把②代入①：

S= 1-1+1-1+……1-1+……

S= 1-( 1-1+1-1+……1-1+……)

S= 1-S

2S=1

S= 1/2

同理，

把③代入①：则S=2/2

把④代入①：则S=3/2

把⑤代入①：则S=N/2

结论：S=0= 1/2= 2/2= 3/2=……= N/2=……

这不是无中生有吗！显然这是一荒谬的结论，但是原因出在哪呢？（待续）