现代数学教学

1.现代数学教育的意义

数学是人类文化的一个组成部分，它在人类社会生活中有着重要的地位和作用。数学是一切科学的基础，是打开科学大门的钥匙。数学既是科学的语言，又是思维的工具。当今人类进入信息时代，信息时代也是数学大发展的时代，人类社会日益走向数学化，从来没有像今天这样，人们需要进行数学式的思维。

1984年美国家研究委员会的一份报告里指出：“在现今这个技术发达的社会里，扫除数学盲的任务已经代替了昔日扫除文盲的任务，而成为当今教育的重要目标，”美国著名数学教育家L.Steen于1988年在国际数学教育大会上作的“面向新世纪的数学”报告中强调要“振兴中学后数学教育”，“要使大学数学对众多不同的前程都是一种必不可少的预备”，“在教授经典题材的同时，也要讲现代数学，不只对高年级的优等生，对初学者也要这样做”等等。

现代数学已成为现代科技发展的强大动力。正因为现代数学抽象化程度越来越高，其内容和方法日趋综合和统一，使数学的应用越来越广泛了，数学已不再只有物理和工程这两大基本用户。现代科学技术的各个领域乃至社会科学的许多领域都需要运用数学作为基本工具，如果说在19世纪，数学在生物学中的应用还等于零，那么，现在数学在生物科学各个分支的成功应用已使数学生物学成为应用数学最振奋人心的前沿之一。正是数学帮助人们把生物学的研究推到了了解生命和智力这样的新前沿。

1984年美国一个由数学家相关专家组成的专门委员会提出的“进一步繁荣美国数学”报告中指出：“高科技的出现把我们的社会推进到数学工程技术的新时代。”这个专门委员会的主席指出：“很少有人认识到被如此称颂的高技术本质上是一种数学技术”。这些提法令人瞩目，点出了高科技与数学的内在联系。数学已成为社会生产力，现代数学的发展也日益广泛和深入地渗透到社会科学领域，甚至有人认为现今的经济学实际上是应用数学的一个分支。运用数学进行定量决策和管理，也逐渐成为当今决策和管理科学的主流．数学不仅在经济学、计划管理这样的社会学科上广泛应用，就是一向与数学无缘的考古学、语言学、心理学等也都成为数学大显身手的领域，出现了史衡学、数理语言学、数理心理学等新学科．用电子计算机对词汇使用频率进行统计分析，可以鉴定莎士比亚作品的真伪，用计算机研究红楼梦也成为“红学”研究中别开生面的一支，人类的智力活动中未受数学科学的影响而大为改观的领域已寥寥无几了[1]。

2.我国数学教育现状

我国目前的数学教育处于怎样的状况呢？基本上还保持着20世纪50年代初学习苏联的模式。总的看来，中学的数学课内容大体上属于初等数学阶段，数学系以外的大学数学课程（如高等数学、工程数学、数学物理方法等）的内容，都属于高等数学阶段。也就是说，接受了大学数学教育，还对现代数学几乎没有接触，但是现代数学的许多基本概念，如算子、泛函、空间、拓扑、张量、流形等已成为现代的科学语言而在科技文献上大量出现，没有现代数学的基本概念和基本知识，不仅难以从事具有现代水平的科学研究，甚至连看文献、进行学术交流都有困难。数学教育的落后，直接影响到现代水平的人才培养和科研的发展。因此，对大学数学课程进行现代化改革，在我国大学里和科技界普及现代数学教育，具有迫切的重要意义，应该引起学术界、教育界等有关部门和领导的重视。希望他们能关心和支持我国大学数学教育的现代化改革，扶植和推动在大学生和科技人员中开展扫“现代数学盲”，普及现代数学教育事业，以期在21世纪初，把我国的数学教育提高到适应时代需要的现代化水平[1]。

在电子信息专业的教学过程中，笔者对此有深刻的体会。在现代信号处理技术中，傅里叶变换、小波变换是处理信号的基本手段，但学生在这方面的数学基础是零，这样的教学完全是在给学生强制灌输“悬空概念”，对学生的自信心和创新能力是一种破坏。

3.现代数学教育的困境

人们也常常把现代数学比喻成一株茂密的大树，它包含着并且正在继续生长出越来越多的分枝。按美国《数学评论》(Mathematical Reviews)杂志的分类，当今数学包括了约60个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计。面对着如此庞大的知识系统，职业数学家越来越被限制于一、二个专门领域。庞加莱(H．Poincare，1854-1912)曾经被称为“最后一位数学通才”，虽然比他稍晚的希尔伯特(D. Hilbert，1862-1943)也跨越过众多的领域，但这样的数学家毕竟越来越难得了，而正是希尔伯特曾在著名的巴黎演讲中指出：“数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系”，并提醒人们警惕数学“被分割成许多孤立的分支”的危险[2]。

数学的高度抽象性是其最重要的特点，但也正是这种高度抽象性使得数学的理解成为了极其困难的事情，严重制约了其普及性，这是我国在高技术领域的创新能力不足的一个主要原因。

4.突破现代数学教育的困境

现代数学教育的重要性是毋庸置疑了，然而，现实的数学教育困难重重，造成这种困难的原因是多方面的，但一个重要的原因是现代数学的抽象程度越来越高，造成理解也变得十分艰难，如果不改变数学的高度抽象的理解问题，现代数学教育的困境是无法突破的。

在“生态保护理论”看来，突破现代数学教育的关键是改变目前现代数学的高度抽象现状，具体的解决办法是让现代数学的概念体系接地性能提高，即降低其抽象的深度，使得对它的学习理解变成一件轻松愉快的事情。也许有人对这种可能性表示怀疑，以下通过笔者近年来收集到的一些这方面成功的例子来说明，这种努力是可能的，现实中也是在不断发生的。

例子一：奎因（Willard Van Orman Quine）的《语言与对象》（整体论哲学）的一些论断：公理其实是约定；科学定理其实是定义；逻辑真理来自约定；任何一种翻译都是正确的。

例子二：吴军所著《数学之美》（人民邮电出版社2012 ISBN: 9787115282828）把抽象的数学原理讲得通俗易懂，让非数学专业读者也能领略数学的魅力，通过具体的例子学到思考问题的方式，学会如何化繁为简，如何用数学去解决工程问题，如何跳出固有思维不断去思考创新。

例子三：林达华．博客心得: 拓扑就是橡皮膜。

例子四：应行仁老师科普博文中关于数学的文章。

5.从“生态保护”理论的角度讨论现代数学教育的改革方向

从以上给出的例子，可以说明降低现代数学抽象深度，提高其接地性能是可能的。从“生态保护”理论的角度看，这也是必需的。因为在现代数学的教学过程中，一旦某个抽象概念悬空，与之相关的所有概念都会成为“悬空概念”，而在“生态保护理论”看来，“悬空概念”是创新能力被摧毁的罪魁祸首。

现代数学的高速发展和高度抽象化的倾向是值得反思的，通俗点，就是现代数学跑得太快太远了（从“思”和“学”的角度看，就是“思”不足，而“学”有余），应该稍稍慢下来反思一下，改善其现有数学概念的体系结构，提高其接地性能，这需要大量人力物力的投入，但这是必需的，尤其对于我国目前的现代数学教育现状，我们亟须整理现代数学大量的抽象概念，使其尽可能接地，降低学生学习理解的门槛，这个工作应该提高到能否实现创新国家的高度来重视，应该作为类似载人航天工程项目一样来抓。

参考文献：

[1].杜珣．现代数学引论. 北京：北京大学出版社，1996

[2].李文林．数学史概论(第二版). 北京：高等教育出版社，2002