数学的艺术

数学的一个图形化分支可帮助物理学家得出关于量子引力和时间本质的新结论

苏菲·赫布登 撰文

2010年10月20日

左   芬  翻译

人们说一幅图胜过一千句话——那么一幅合适的图像可以节省多少个方程呢？数学家约翰·贝兹认为如果我们想要解决当今物理学的一些深层难题，那么我们必须重回到绘图板前——毫不夸张地。

贝兹，现处于新加坡的量子科技研究中心，号召用被称为“范畴论”的一个图形化的数学分支来重写——或者说重绘——量子物理学。这是一个数学家熟知但物理学家极少开发的系统。“这一数学分支回溯到一些非常基本的想法，并利用它们来做一些非常新颖的事情，”他说。

约翰·贝兹 上海探索中

整合物理学并以一种容易理解的方式去简化它的这种渴望形成于贝兹的少年时期，在他的叔叔阿尔伯特·贝兹——著名的民谣歌手琼·贝兹的父亲——来访的时候。阿尔伯特曾在阿尔及利亚和伊拉克建立过物理系，因此在不断地构想廉价的方法，以简易式地展示物理。他还写了一本针对大学生的物理教科书，并给了他八岁的侄儿一本。“那使得我在早期就决定要做物理，”贝兹说。

阿尔伯特·贝兹：一个物理学的鼓舞者

范畴论是一种非常形象化的数学形式，它让你用箭头在图形中把对象联系起来，以追踪单个粒子。如果你上学时曾学过集合论，你可能记得将具有某些共同特性（比如，你拥有的服饰类物品）的物品纳入一个大集合，再将它们分成子集合（袜子，手套，帽子），并在维恩图上画出相交圆来表示一些物品具有共同特性（比如，蓝颜色）而其他的没有。

作为一个更数学化的例子，你可以画出所有正整数（1,2,3,4…）的集合，和所有偶的正整数（2,4,6,8…）的另一个集合，并画一个箭头来代表将两个集合的元素联系起来的函数（在此情形下，该函数是“乘以2”。）范畴论做的是大体相同的事，不过是在一个抽象得多的层次上刻画数学上更复杂的对象之间的联系。如果把维恩图看作小孩的蜡笔画的话，那么范畴论更像是毕加索的作品。

多维乐高

“有些范畴论的文章里，图形可以大到延续好几页纸！”另一个爱好者约翰·巴雷特，英国诺丁汉大学的一位数学物理学家，说道。巴雷特形容用范畴论将代数在时空中粘合起来“就像多维乐高”。

乐高的类比是很恰当的，因为“范畴化”一个物理理论的威力在于它将理论的维度提升一维这一事实。这是很有帮助的，就如同构建一个三维模型提供了一种更好的方式来展示一座建筑看起来会是什么样，相比于只能从两维蓝图上去看的话。

范畴化： 范畴论描绘了如何在4-维时空中扭曲曲面

“范畴化帮助你从概念上理解发生了什么。你可以在空间方向或是时间方向上堆积代数，并确保所有的方程正确地出现，”巴雷特说。

这也意味着如果你想要理解的物理很难在三维空间中弄清楚，你可以在两维或一维空间中得出一个简化版，再对它做范畴化。嘿，你瞧！你已经有了你的三维物理理论。

时间的流逝

范畴论还能帮助澄清关于时间本质的一个古老的说法。众所周知希腊哲学家赫拉克利特曾深思过变化的概念与时间的推移，并声称你无法两次踏入同一条河流。为什么呢？“嗯，人们通常说是因为河流后来不同了：它里面的所有水分子都不一样了，”贝兹说，“但作家博尔赫斯指出你 也会不一样了。”河流不再完全一样，而你也不再完全一样，但你和河流会以某种方式 始终如一。“希腊人觉得这种想法很令人不安：他们认为事物要么相同要么不同，”贝兹说。

这也是数学家和物理学家们每天都要面对的一个难题，当他们看到方程并竭力想要弄清它们究竟意味着什么的时候。一方面，方程的两侧看起来不一样，而另一方面，“等号”告诉我们它们是相同的。范畴化是彻底澄清这一问题的一个时髦的名字：取代只是说两样事物相同，它指定了将它们视为相同的一种方式，贝兹说。

特别地，范畴论将方程替换为同构。例如，如果你在一个范畴中有七个对象，在另一个范畴中也有七个对象，你可以把第一个范畴中的每一个对象与第二个范畴中的一个伙伴相匹配，然后得出结论这两个集体是相互同构的。每一个配对中的两个对象并不是同一个对象，但它们以一种特定的数学方式一样，而同构明确地详述了这种方式，贝兹说。“同构在自然界中出现的多种主要途径之一，就是当你在思考时间以及事物如何变化但又保持不变的时候，”贝兹说道。

谢谢你费曼先生

我期待有一天会出现对基础物理学的一种优美的范畴论解释。                         ——约翰·巴雷特

范畴论可能会帮助我们理解古希腊哲学。但任何怀疑论的物理学家，如果她不愿改变自己的数学方式，都会问：范畴化究竟在物理学中展示过任何用处吗？

答案是一个响亮的“是”。大多数人并没有意识到费曼图——一种弯弯曲曲的图形，物理学家日常地用来分析在亚原子粒子碰撞时会产生什么——其实是范畴论的一种形式。

“在我看来，理查德·费曼发明了范畴式物理，”我们基础问题研究所（简称FQXi）成员路易斯·克兰，堪萨斯州立大学的一位数学家，说道。克兰当初将贝兹引入了范畴论，在1980年代贝兹在耶鲁大学做博士后的时候。克兰回忆起他们在图书馆边上的一个走廊里的一次对话：“约翰正为弦理论兴奋不已，于是我告诉他别在那上面虚耗光阴，有好得多的事情可以做。”

弦理论之所失即范畴论之所得。克兰告诉贝兹这一另类的数学框架可用于探索量子力学与广义相对论的统一理论。贝兹“以此为出发点，并自那以后就被它迷上了，”克兰说。如今，贝兹和他的学生，克里斯·罗杰斯，约翰·韦尔塔以及克里斯托弗·沃克，正忙于范畴化量子理论与经典力学，在FQXi一笔多达131865美金的经费资助下。

贝兹也在通过他的博客，n-范畴咖啡馆，向物理学家普及范畴论。这不只是解释已完成的工作：“我们公开地提出问题，并向一些优秀的人寻求帮助，”他说。（如果说处理量子引力问题还不够的话，贝兹最近启动了另一个博客，方位角，来设法让科学家协助拯救地球于环境危机之中。）

最重要地，贝兹是一个桥梁架设者。“约翰能写出其他数学家理解的数学，同时又能与物理学家沟通，并以一种数学的方式来理解他们所在做的事，”克兰说。

巴雷特对这一计划表示乐观。“我期待有一天会出现对基础物理学的一种优美的范畴论解释，”他说。“这无疑是一条很有用的探索途径。”