物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑（一）

约翰·贝兹， 迈克·斯徳

2009年3月2日

摘 要

在物理学中，费曼图被用来推导量子过程。在1980年代，人们发现这些图形隐含着量子物理与拓扑之间的一种强有力的类似性。也就是说，一个线性算符表现得非常像一个“协边”：代表着时空的一个流形，在代表空间的两个流形之间演化。这引起了关于拓扑量子场论和“量子拓扑”方面工作的一场大爆发。而这还仅仅只是开头而已：相似的图形可以用来演绎逻辑，在那里它们代表着证明；还能用来开展计算，在那里它们代表着程序。随着人们对量子密码学和量子计算的兴趣的大幅提升，情况越来越明朗，在物理、拓扑、逻辑和计算各方向之间存在着广泛的类似网络。在这篇讲解性的文章中，我们利用“闭对称幺半范畴”的概念对这些类似性中的一部分予以精确表述。我们不要求读者对范畴论、证明论或是计算机科学有任何预备知识。

引 言

范畴论是一种非常广泛的形式体系，不过物理学家采取了某种特别的方式来使用范畴，并且这种用法在拓扑，逻辑和计算中有着密切的类似物。一个范畴拥有对象 和态射，它们分别代表着事物，以及事物之间转化的方式。在物理学中，对象经常是物理系统，而态射则是将一个物理系统的态转化为另一个物理系统——有可能是同一个——的态的过程。在量子物理中，我们通常这样来表述，即取希尔伯特空间 为对象，并取线性算符 为态射。

1949年前后，费曼意识到在量子场论中将线性算符画成如下图形是很有用的：

这使得我们能够以图形化的方式来推导它们。我们可以扭曲一个图形，但并不改变它所代表的算符：相关的只是拓扑，而并非几何。在1970年代，彭罗斯意识到推广的费曼图在量子理论中随处可见，甚至可能导致我们对时空的理解方式的重新修订。在1980年代，人们发现在这些图形的背后潜藏着量子物理与拓扑之间的一种强有力的类似性！具体来说，一个线性算符表现得很像一个“协边”——即在低一维流形之间演化的一个n-维流形：

弦理论利用这一类似性将通常量子场论中的费曼图替换为2维协边，后者代表着弦随着时间的流逝所扫出的世界面。算符与协边的这一类似性在圈量子引力里也很重要，而在更纯粹的数学方向“拓扑量子场论”中则至为关键。

与此同时，完全独立地，逻辑学家们也开始使用范畴，在那里对象代表着命题 ，而态射代表着证明 。其思想是，证明是从一个命题（前提）通往另一个命题（结论）的过程。随后，计算机科学家开始使用范畴，其中对象代表着数据类型，而态射代表着程序。他们也开始使用“流通图”来描述程序。抽象来说，这些非常像费曼图！

逻辑学家和计算机科学家从未远离彼此。的确，将证明与程序关联起来的“柯里-霍华德对应”至少从1970年代早期开始就已经众人皆知了，而其根源则可以回溯到更早的时期。然而，直到1990年代逻辑学家和计算机科学家才最终邂逅了物理学家与拓扑学家。其诱因之一是人们对量子密码学和量子计算的兴趣得到了大幅提升。在此基础上，人们开始将量子过程视为信息处理的方式，进而应用计算机科学中的思想。此后人们才意识到流通图与费曼图之间大体的类似性可以借用范畴论来表述得更严格。

到现在为止，在物理、拓扑、逻辑和计算机科学之间已经出现了一个广泛的连锁类似网。它们显示在公共重叠区域的研究实际上逐渐形成了一门新的科学：系统与过程通论。构建出这一科学是非常困难的。对此有有利的因素，但也有不利的。不利因素之一是，不同的领域使用不同的术语和符号。

原始的罗塞塔石碑建造于公元前196年，上面包含了同一段文本的三种语言的版本：古埃及通俗文字，象形文字，以及古希腊语。拿破仑的士兵对它的重新发现使得现代的埃及学家们得以破译象形文字。最终这导致我们对古埃及文化的理解大大加深了。

目前，数学逻辑中的演绎系统在大多数物理学家看来就好像象形文字。类似地，量子场论在大多数计算机科学家看来就像希腊语，以此类推。因此，需要一座新的罗塞塔石碑来帮助研究者们在不同领域之间进行翻译。下面的表格展示了我们对这一罗塞塔石碑的大体内容的猜测。

表1. 罗塞塔石碑（袖珍版）

这篇文章后面的部分将通过对比在物理、拓扑、逻辑和计算中分别是怎样使用范畴的来扩展这个表格。不幸的是，这些不同的领域关注的是稍微不同种类的范畴。尽管大多数物理学家并不太清楚，量子物理其实一直以来使用的是“紧对称幺半范畴”。纽结理论使用的是“紧辫子幺半范畴”，这要稍微广泛一点。不过，人们在1990年代发现这些更广泛的工具在物理中也是很有用的。逻辑和计算机科学通常关注“笛卡尔闭范畴”——这里的“笛卡尔”可被粗略地视为“量子”的反义词。不过，得益于线性逻辑和量子计算方面的工作，一些逻辑学家和计算机科学家已经放弃了他们对笛卡尔性的坚持：如今他们研究更加广泛类型的“闭对称幺半范畴”。

在第二节中我们将解释这些概念，它们是怎样说明了物理和拓扑之间的类似性，以及如何用弦图来处理它们。我们不要求任何范畴论的预备知识，只要你愿意去学就行了。在第三节中我们会说明闭对称范畴怎样对应于通常的命题逻辑中的一个小片段，以及它正好也是吉拉德的“线性逻辑”的一个片段。在第四节中我们阐明闭对称幺半范畴如何对应于一个简单的计算模型。这几节都会从一些背景材料开始。在第五节里，我们通过展示一个扩展版的罗塞塔石碑来作结。

我们对所有四个主题——物理、拓扑、逻辑及计算——的处理注定会是粗略的，目光狭隘的，甚至在它们的实践者看来是古怪的。对此我们的辩解是，我们希望强调某些类似性，而绝不添枝加叶。为了弥补这一点，我们为想要深入探究的读者列出了众多的参考文献。