圆桌会谈：对话爱德华•威滕（六）

爱德华·威滕 普林斯顿高等研究院自然科学学院教授

大栗博司 卡弗里数物连携宇宙研究所首席研究员

户田行信 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授

山崎雅人 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授

霍万诺夫同调

山崎：我昨天听了你的讲座，你解释了你如何想到霍万诺夫同调可以写成在一个不寻常的积分闭链上积分后的N=4超对称杨-米尔斯理论。那儿让我印象深刻的一件事是你之前的一些文章是关键性的输入，包括你和安东·卡普斯京阐述卡普斯京-威滕方程的工作，以及你和大卫·盖奥托关于N=4超对称杨-米尔斯理论中的边界条件的后续工作。当你在着手这些文章时，你是否已经想到在霍万诺夫同调中的应用了？

威滕：答案是“没有”：在那些年里，我知道霍万诺夫同调并且苦于不理解它，但我完全没想到它会跟几何朗兰兹是相关的。我为不理解霍万诺夫同调而苦恼，因为我感觉我在琼斯多项式方面的工作应该是理解霍万诺夫同调的一个很好的出发点，但我就是看不出如何着手。（从数学的观点上说，霍万诺夫同调是纽结的琼斯多项式的细化或“范畴化”。）事实上，谢尔盖·古科夫，阿尔伯特·施瓦茨和瓦法已经给出（在2004年）霍万诺夫同调的一种基于物理的解释，其中部分地利用了大栗和瓦法的先前工作。但我发现它让人困惑甚至有一点沮丧，因为这与规范理论的联系是如此地间接和遥远。我想要找出一条更直接的途径，但在很多年里我发现这是很困难的。

不过，最终从数学文献中读到的一些进展帮助我弄清了霍万诺夫同调应该利用与理解几何朗兰兹相同的要素去理解。我并不清楚所有这些线索，不过我从其中两项工作中学了不少。其中之一是丹尼斯·盖茨戈里关于数学家所谓的量子几何朗兰兹（我不确定物理学家会使用这一名词）的工作，其中展示了量子几何朗兰兹的q参数与量子群和琼斯多项式的q参数是相关的。另一个是萨宾·考蒂斯和约珥·卡姆尼泽对一个空间反复做赫克修正来构建霍万诺夫同调的工作。我最初并不知道这些线索有什么用，但它们就像是红旗已经插在了那儿。

赫克变换是几何朗兰兹中最重要的要素之一。它们在物理中究竟意味着什么困扰了我很长时间，并且最终成为利用物理和规范理论埃解释几何朗兰兹的最后一个主要障碍物。终于，在从西雅图回家的飞机上，我突然想到几何朗兰兹框架下的赫克变换不过是代数几何学家对量子规范理论中“霍夫特算符”效应的描述方式。我从未运用过霍夫特算子，但早在1970年代晚期它们就被当成理解量子规范理论的工具而引入了，所以我是很熟悉的。如何运用霍夫特算符以及它们在电-磁对偶下如何表现这些基本要素是众所周知的，因此一旦我将赫克变换重新用霍夫特算符来解释，许多事情在我面前变得豁然开朗。

考蒂斯和卡姆尼泽已经将霍万诺夫同调用经过多重赫克变换的一个空间上的B-模型来解释。卡姆尼泽还在另一篇文章中猜想存在用同一空间上的一个A-模型给出的另一种描述。技术上来说，很难找到正确的A-模型。我确实想要理解A-模型，因为在这一方案中你才能指望获得明显的三维或四维对称性。我研究霍万诺夫同调的主要目标是找出这样一种描述，它具有明显的对称性，并且与琼斯多项式的规范理论描述具有清晰的关联。最棘手的要素之一是规范场必须满足一种微妙的边界条件，我称之为纳姆极点边界条件。（导致纳姆极点边界条件的基本想法是沃纳·纳姆30多年前在他关于磁单极的工作中引入的。）对于我来说很幸运的是，因为几年前和大卫·盖奥托一起完成的工作我对纳姆极点边界条件以及它在电-磁对偶中的角色很熟悉。

我猜测数学世界会在短到中期认同我在霍万诺夫同调方面的工作，而这个过程的主要障碍是对纳姆极点边界条件不够熟悉。考虑到这一点，我在和拉菲·马泽奥合作试图给出这一边界条件的一个详尽的数学理论。我们已经写了一篇文章对不存在纽结的纳姆边界条件做了严格表述，并且在努力做进一步推广以涵盖纽结。所需的不等式已经得出，但还有些细节没有就位。

山崎：我明白了。这是物理与数学互动的一个很好的故事。你在一定程度上被数学中的重要文章所激发，并以一个物理学家的身份来解释它们。接着你得出自己的物理故事，而现在你又试图把它带回到数学中去。

威滕：正如我提到的，考蒂斯和卡姆尼泽实际上能够理解的版本是B-模型。因为它不能给出明显的三维对称性，我决定专注于A-模型，但如果我能空出两个月时间来的话，我会尝试从物理学家的角度去解释考蒂斯和卡姆尼泽的B-模型。我相当乐观我能够做到这一点，并且我认为它将会很有启发性。唯一的问题是有太多像这样的事情了——我觉得可以澄清的有趣的未了之事，如果我花几个月时间在上面的话。