圆桌会谈：对话爱德华•威滕 （一）

爱德华·威滕 普林斯顿高等研究院自然科学学院教授

大栗博司 卡弗里数物连携宇宙研究所首席研究员

户田行信 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授

山崎雅人 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授

自右至左：爱德华·威滕，大栗博司，山崎雅人，以及户田行信

京都奖与第四次访问京都

大栗：首先我要恭喜爱德华获得了京都奖。每四年，京都奖会来到数学领域，而这是这一范畴内第一次颁奖给一位物理学家。

威滕：嗯，我想说获得这一奖项深感荣幸。

大栗：看到你在数学与物理交叉领域的工作被认可为数学以及物理学最重要的进展之一，这真是太美妙了。对于我们从事这一领域研究的人来说，这也是非常令人欣慰的。正如立川裕二在昨天的研讨会上所说，对于我们所有在这一研究领域耕耘的人来说，你就好像是普照的阳光。

威滕：事实上在前几天的获奖演说中，我评论说我也将此视为对这一领域的认可，而不仅仅是对我本人。

大栗：今天的会谈将会形成一篇文章发表在一份日文杂志上，《数学研讨会》，也会发表在《卡弗里数物连携宇宙研究所新闻》上。《数学研讨会》的读者人群非常广泛，包括高中生，大学生，专业研究人员，甚至对数学感兴趣的公众。这份杂志在高中生中间尤为鼓舞人心。在我还是高中生的时候就很喜欢阅读它，直到现在还在订阅。立川裕二说他曾在这份杂志上阅读过你1994年的采访，而那在一定程度上激励他进入了这一领域。

威滕：听裕二提起这个，我感到很欣慰。他能说起这些真是太好了。

大栗：我希望关于今天访谈的杂志文章将来也能激励下一代青年学生进入到——不一定要是数学——更广泛的科学和工程学中。我想这可能是一个很好的机会来谈论这一领域的当前现状，以及研究中的机会。

你已经为《数学研讨会》做过两次采访。在1990年京都举行的国际数学大会上你获得了菲尔兹奖。在那一场合下，江口徹采访了你。你还同大会的另一位菲尔兹奖得主，沃恩·琼斯，有过一次讨论，而我记得你热衷于将你在陈-西蒙斯理论中的工作推广到带有谱参数的情形，因为从可积模型的角度来看这是非常自然的。

威滕：是的，我很想沿着这些思路找出“可积性”的一种解释，并进而能得出像伊辛模型之类的两维格点模型的精确解。我当时彻底失败了，但就在近一两年里，遵循我的思路凯文·科斯特洛完成了一些工作。

大栗：你来之前我们正好聊到科斯特洛的工作。你觉得它实现了你那时候的设想吗？

威滕：是的。可积模型有很多侧面，但没有哪种途径可以理解全部。但我想说的是，科斯特洛所发现的正是我所寻求的那种解释。

大栗：我明白了。

威滕：科斯特洛的工作涉及到对三维陈-西蒙斯理论的一种非常简单但是却很优雅的变换，在其中他仅仅将实三维空间中的一维替换为一个复变量 z。

大栗：进入到四维空间中。

威滕：这是具有两个实坐标和一个复坐标 z的一个四维世界。科斯特洛定义了一个4-形式，通过将陈-西蒙斯3-形式与一个1-形式 dz 做外积。他将这作为一个四维理论的作用量来展开研究。有一个非常关键的技术细节：要让这一理论有意义，通过线性化运动方程所得出的微分算子必须在模掉规范群的情况下是椭圆的。我想这有点出人意料，但确实如此。有了这一条件，他就得到了三维陈-西蒙斯理论的一种推广，它不再具备完整的三维对称性，但却包含一个复变量，也就是z。

  如果你认真思考的话，你会看出可积性，也就是杨-巴克斯特方程，只涉及两维对称性，而并非真正的三维对称性。我没能纳入谱参数的原因是我一直在三维拓扑场论的框架下考虑。在三维拓扑场论中，除了纽结横越的移动——也就是说，除了杨-巴克斯特关系——你还有更多涉及产生和湮灭过程的关系。有些瑞德迈斯特移动在拓扑场论中是有效的，但与可积模型并不相干。我没能找出谱参数是因为我试图利用拓扑场论。科斯特洛做了一个简单的变换，将一个实坐标替换为复坐标，于是一切都完美地运作了。毫无疑问，这正是我在1990年前后寻求过但却无果而终的那种解释。

大栗：原来如此。于是，在23年之后，你的问题最终有了答案。好，接着在1994年，你第二次访问了日本，并在京都这做了一个公众讲座。

威滕：事实上，我还有过几次访问京都的机会，包括你组织的弦2003会议那次以及目前的这次。

大栗：所以，包括这次在内的四次访问日本，每次你实际上都来了这儿的京都国际会议中心。

威滕：是的，不过我听说一段往冲绳的旅行正在计划之中。

大栗：那是我们计划在冲绳科技研究所举办的弦2018会议。我们殷切地希望你能在2018年再次来到日本。

  在你1994年访问的时候，你刚完成塞伯格-威滕理论以及瓦法-威滕理论方面的工作。我记得我们在京都大学的数学研究所有过一次讨论会，跟你和中岛启一起，当时中岛解释了他关于仿射李代数如何作用在瞬子模空间的上同调上的工作。而在你与江口徹的访谈中，你提到当时在镜像对称与S-对偶方面的进展，并希望找出一种能囊括规范理论和弦理论的关于对偶的一种更统一的观点。我想，这一希望在过去20年里已经部分地实现了。

威滕：确实已经实现了一部分。在那第二次访谈之后一两年里获得的一个结果就是弦论中关于非微扰对偶性的一幅图像逐渐呈现，从而推广了场论中已有的结果。不过，其他一些内容依然神秘，没能理解清楚。

好的方面是，四维规范理论对偶性以及低维中的大量对偶性都源自一种六维共形场论的的存在性，而这一结果构成了深入理解对偶性的主要观念。我们还未能弄清一切是因为我们并没有实际理解这一六维理论，但仅仅知道问题应该用这一理论的性质来理解就已经是探讨对偶性的一大进步了，而这在上一次访谈时当然还未取得。