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量子场论中的新洞悉与数学(七) 精选

已有 2719 次阅读 2020-12-30 12:19 |个人分类:非关对错|系统分类:观点评述

10 量子场论中的新洞悉与数学(七)

 

彼得·沃特 著

左 芬  译

 


 

拓扑量子场论

 


尽管反常的发展对数学有着重要的影响,更重要的是被称为拓扑量子场论的一系列想法。这些想法开始于威滕1982年发表的一篇题为“超对称与莫尔斯理论”的文章。这一文章并非发表于一份物理学期刊,而是一份知名的数学期刊,微分几何学杂志。我听说当时这篇文章的发表在编辑中引发了争议。它是以物理文章的风格写的,缺失了表征数学文献的细致而精确的定义、定理和证明序列。这篇文章得以发表倚赖一些著名数学家为其施加影响力,而它后来产出的成果充分证实了这些人的判断。


哈佛数学家拉乌尔·博特记得 (Bott, 1988)1979年夏天在卡尔吉斯的一个暑期学校中给物理学家们做过几次关于拓扑学和杨-米尔斯方程的讲座。大多数物理学家觉得博特的讲座跟他们关注的内容相去甚远而选择了冷眼旁观,但在场的威滕却听得聚精会神。八个月后威滕写信告诉博特说:“现在我终于领悟了莫尔斯理论!”


莫尔斯理论是研究空间拓扑的一种方法,可以追溯到这一主题最早期的历史,而起源于数学家马斯顿·莫尔斯1925年的工作。威滕最终领悟的是莫尔斯理论与量子力学之间的一种关联。他后来在他的文章中阐明,对于任意维度的给定空间,他可以构建出一个具有超对称的简单量子力学模型,其希尔伯特空间仅仅依赖于给定空间的拓扑。这一希尔伯特空间是有限维的,并且正好对应于数学家久已知晓的一个概念,所谓空间的“同调”。他的构造利用了莫尔斯理论的一种版本,而这一版本尽管之前有一些数学家考虑过,并不是那么众所周知,哪怕对于专家来说。


威滕的结果的长远意义并没有立即展示出来。空间的同调是一大类被称为拓扑不变量的数学结构中最简单的例子之一。拓扑不变量是不随空间的形变而改变的某种量,因此只依赖于其拓扑。一个好的拓扑不变量可以帮助拓扑学家判断两个不同的空间是通过形变能彼此变化,还是有本质上的区别。这只需要计算两个空间的拓扑不变量,如果结果不同,那么它们肯定不能从一个变形成另一个。关联到一个空间的拓扑不变量可能仅仅是一个数,但也可能是更加复杂的某种量。威滕处理的同调不变量是一组整数,它们在某种意义上告诉你一个空间有多少不同维度的洞。


威滕发现的拓扑不变量是众所周知的,但他所使用的量子力学方法跟数学家之前考虑过的截然不同。看起来威滕拥有了一种全新的强有力思想,如果把它推广到更复杂的量子理论比如量子场论中,或许能发现大量激动人心的新数学。威滕在他的文章中就此起了个头,以对两维量子场论的一些初步讨论作结。


1987年5月一次数学大会在杜克大学举行,以纪念两年后的赫尔曼·魏尔百年诞辰。这是我所参与的第一次数学会议,而当时我即将完成在石溪分校的物理博士后,可是下一个学术年的应聘还毫无着落。到那时我已经对理论粒子物理学家的世界相当熟悉,不过还刚刚接触到数学家群体。会议举行时数学正处于一个激动人心的时期,大量新想法层出不穷。在那儿的经历向我暗示着,如果可能的话,将研究领域转到数学应该是一个不错的主意。


威滕和阿蒂亚都出席了会议,而且阿蒂亚做了一个题为“三维和四维流形的新不变量” (Atiyah M. , 1989)的报告。这是我所听过的最不同凡响的报告。阿蒂亚描述了他之前的学生唐纳森最近在四维空间上定义的新拓扑不变量,以及一位才华横溢的年轻数学家安德烈亚斯·弗勒的其他新工作。令人惋惜的是,弗勒几年后选择结束了自己年轻的生命。弗勒的工作是关于三维空间的拓扑不变量的,他利用威滕关于莫尔斯理论的想法定义了一种叫做弗勒同调的新不变量。阿蒂亚描绘出一幅猜想性的图景,以说明弗洛尔和唐纳森的想法怎样组合在一起。基本的思想涉及到考察带有三维边界的四维空间。作为低一维的类比,想像一个三维球,其边界是一个两维的球面。阿蒂亚表示,三维边界空间的弗勒同调正好是让唐纳森的新不变量在四维流形带边时有意义所必须修正的。这将唐纳森和弗勒所创建的这两个数学新方向完美地联系在了一起,并在此过程中启发出大量新问题。


阿蒂亚也把这整个图像关联到威滕关于超对称和莫尔斯理论的工作,提出应该存在一种四维量子场论,其希尔伯特空间是三维边界空间的弗勒同调,而可观测量将会是唐纳森的新拓扑不变量。顺着这一思路,他又引入了多种其他数学分支,并顺便提到了沃恩·琼斯1985年发现的关于纽结的一种拓扑不变量,所谓琼斯多项式。在我印象里,威滕在听众当中并且可能已经知晓了弗勒和唐纳森理论,而在报告后他走向阿蒂亚,开始询问他关于琼斯多项式的问题。


最初威滕有些怀疑阿蒂亚猜想的量子场论是不是真的存在。(Witten, 1999) 在阿蒂亚1987年末再次访问高等研究院时的进一步鼓动下,威滕又回到这个问题,很快发现了具有阿蒂亚所期待的性质的量子场论,并就此在1988年初发表了一篇题为“拓扑量子场论”的文章。他是从一种具有超对称的四维量子场论出发找到这一理论的。回想一下,超对称在某种意义上是平移对称性的平凡根。一般的四维空间,特别是那些拓扑不平庸的,具有复杂而弯曲的几何,因而必然不具有整体的平移对称性,也就没有标准的超对称。威滕想出了一种绝妙的技巧来绕开这一点,引入了所谓扭转超对称来让一部分超对称在弯曲四维空间中仍然存在。这一存留的超对称使得他可以应用他超对称量子理论与拓扑学相关联的思想,并最终得出正确的理论。


正如阿蒂亚所希望的,这一量子场论具有这样的性质:对于任意给定的四维空间,如果你试图用它来计算可观测量,大多数时候你得到的是零。仅当某些量不依赖于空间形变时,你才能得出非零结果。这些正好就是唐纳森的新拓扑不变量,所谓唐纳森多项式。尽管唐纳森已经定义出这些数学对象并且证明它们具有某些性质,对于一个一般的四维流形要真正把它们计算出来是极为困难的。威滕希望他的量子场论能够使得他在许多情况下计算出唐纳森多项式,但这些希望最初并没能实现。如果你对经典场方程的一个解应用标准的准经典微扰展开技术,你只是回到唐纳森已经知晓的他的多项式的定义之一。那些以四维拓扑为专长的数学家对威滕的结果不是很在意。在他们看来,威滕只是给出了唐纳森多项式的又一种更复杂的定义而已,而且是利用几乎毫无希望能严格定义的量子场论来表述的。


很快威滕又将拓扑场论的想法应用到大量其他情形中,声称一大类的新量子场论,其中每一种的观测量都是拓扑不变量。其中一种情况尤为有趣和出人意料。拓扑学中拥有悠久历史的一个分支是纽结理论。对拓扑学家来说,一个纽结就像一条绳子,以一种复杂的模式处于三维空间中,并把首尾两头系在一起。如果你把绳子来回移动,使它在三维空间中变形,有一些纽结能被解开,但其他的则不能。纽结理论的核心目标之一就是找出关联到每一个纽结的拓扑不变量。当你让纽结变形时,比如尝试去解开它,这些量是不改变的。理想情况下,你会想要得到这种拓扑不变量,只有当所考虑的纽结可以解开时,它的这一不变量才会跟平庸结的相同。(译注:琼斯多项式并不能做到这一点。直到2010年前后,人们才发现霍万诺夫同调可以甄别出平凡结。)那么对于任何纽结,为了判断它是否可以解开,你所需要做的就是计算出这一不变量,再看它是否跟平庸结的完全一样。


阿蒂亚在魏尔会议上提到的琼斯多项式是纽结理论家大量研究所聚焦的一个拓扑不变量。它也在两维共形量子场论的一些工作中出现过。在阿蒂亚的鼓励下,威滕试图弄清它是否能融入一种量子场论。1988年夏天斯旺西大学举办的一次会议期间,威滕在与阿蒂亚以及阿蒂亚的前学生格雷姆·西格尔于安妮饭店共进晚餐时讨论起这一问题,并最终明白应该怎么去做。十年后饭店里挂出了一块牌匾来纪念这一场景。到了九月威滕已经得出了一种拓扑量子场论,其物理量正好就是琼斯多项式。这一三维时空的量子场论是一种看上去很简单的理论,具有规范对称性但没有超对称。它是利用杨-米尔斯规范场构建的,而纽结表现为一个无穷重的带电粒子在三维时空中运动的轨迹。决定理论动力学的所谓拉格朗日函数的方程在此情形下仅仅只有一项。这一项是利用规范理论的杨-米尔斯场所构造的一个微妙的数学量,被称为陈-西蒙斯项,以纪念几何学家陈省身与詹姆斯·西蒙斯,因为二者最先于1971年探讨过它。陈是二十世纪最伟大的几何学家之一,最近以93岁高龄离世,而西蒙斯在石溪分校建立了一个卓越的数学系后离开学术界,去创立了文艺复兴科技公司,全球最成功的对冲基金之一。威滕的新拓扑量子场论很快被称为陈-西蒙斯理论,或者陈-西蒙斯-威滕理论。


陈-西蒙斯理论可以在任意三维空间上定义,所以它不仅能给出标准三维空间中纽结的琼斯多项式,也能给出任意其它三维空间的类似量。这一理论最惊人的部分是它的希尔伯特空间。这一希尔伯特空间是有限维的,并且其维度由最初在共形场论中发现的韦尔兰德公式给出。威滕用单一的陈-西蒙斯项定义的新量子场论因而浓缩了纽结和三维空间拓扑、卡茨-穆迪群及其表示理论、共形场论、指标理论以及许多其他领域之间令人叹为观止而又始料未及的关系。


在1990年东京举办的国际数学家大会上,威滕被授予菲尔兹奖,数学界最负盛名的荣耀,而他在陈-西蒙斯理论上的工作是他获奖的主要原因。数学中没有诺贝尔奖,所以菲尔兹奖是最接近的替代品(尽管最近设立的阿贝尔奖可能改变这一情形)。它是一种稍显不同的奖项,通常每四年一次地授予两到四位数学家,而不像物理学中的诺贝尔奖,是每年授予一到三位物理学家。此外,菲尔兹奖得主在他们获奖时必须小于四十岁。第一届菲尔兹奖于1936年颁发,而在威滕之前还从未有物理学家获得过。甚至在威滕之前,就没有任何物理学家曾被提名过。在给威滕授奖时,数学界也并不是普遍认同。许多人会有这样一种感觉,既然威滕研究的内容并不基于严谨精确的定义,也没有对定理给出严格的证明,哪怕他的工作很有意思,这些并非真正的数学。一些怀疑者是研究四维流形的拓扑学家,因此主要熟悉的是威滕的四维拓扑量子场论,而这一理论在他们看来并没有给出唐纳森多项式的任何新东西。


威滕继续时不时地思考如何从他的拓扑量子场论中得出关于唐纳森多项式的新信息。在1980年代晚期和1990年代早期,许多数学家开始对这些拓扑不变量的数学感兴趣,于是拓扑学中一个被称为唐纳森理论的活跃分支逐渐形成。在这类数学中人们一直在取得稳步进展,但由于涉及的技术问题过于严峻,进展相当缓慢。而这一切在1994年秋天发生了极富戏剧性的改变。


当你在麦克斯韦方程中忽略带电粒子,只考虑电磁场时,你会发现这些方程除了众所周知的规范对称性和时空对称性之外,还具有某种特殊的额外对称性。这一额外对称性的出现是因为当你交换方程中电场和磁场的角色时,并不会改变方程的形式。电场和磁场被说是互相对偶,而这一对称性则被称为对偶性。一旦电荷被放回到电动力学的完整理论中,对偶性就被毁坏了。1931年狄拉克认识到要在完整理论中恢复对偶性,你必须引入具有特殊性质的带磁荷粒子。这些粒子被称为磁单极,可视为电磁场的拓扑非平庸构型,其中电磁场在某一点处变成无穷大。尽管电荷与电磁场是弱耦合的,耦合强度由精细结构常数α=1/137给出,对偶性会逆转这一数值,要求磁荷与电磁场是强耦合的,耦合强度为1/α=137。


如果磁单极真的存在,与电磁场的这一强耦合会使得它们很容易探测到。所有搜寻它们的实验全都一无所获(1982年斯坦福大学的一次实验可能是例外,实验中看到了一个疑似事例,但之后又是一片空白)。在1978年对牛津大学的第一次访问中,威滕认识了物理学家戴维·奥利弗,而奥利弗和克劳斯·蒙托宁曾一起猜想在四维杨-米尔斯理论的情形可能存在电-磁对偶性的类比。威滕发现一种超对称版本的杨-米尔斯理论可以使得这一猜想更加合理,并很快与奥利弗就该主题发表了一篇文章。多年以来,威滕不时地会回到这一想法,并在1994年春天,他与内森·塞伯格一起终于得出一种超对称杨-米尔斯理论的一个确切的解,该解具备所猜想的对偶性的一种版本。这是一次激动人心的进展,因为人们终于能给出杨-米尔斯类型量子场论的一个范例,其中强耦合处发生的事情可以被理解得一清二楚。除了描述弱耦合情形的标准微扰展开,在这一理论中你可以利用弱耦合计算的一个对偶图像来计算强耦合处的量。这一对偶图像涉及磁单极和一些规范场,但这些规范场并非杨-米尔斯场,而具有简单得多的U(1)规范对称性,就跟在QED(量子电动力学)中一样。


威滕意识到这个新解也能对给出唐纳森多项式的拓扑场论有所启发,因为这一拓扑理论本质上跟他与塞伯格求解的理论是完全一样的,除了他的扭转技巧之外。1994106日,他来到剑桥市为麻省理工的物理学家们做了一次报告,介绍他和塞伯格的工作。注意到听众中有好些数学家,他在报告的最后提到这一工作可能与唐纳森理论有所关联,并写下了一个方程,认为这应该是数学家们一直以来研究的方程(所谓自对偶方程)的对偶类比。(译注:请勿混淆电磁对偶与自对偶方程中的对偶。大体来说,前者是内部空间的,而后者则是时空的。)这些数学家对他的报告的大部分内容不明所以,但他们中的好几个开始思索威滕展示的新方程。


哈佛大学的克利福德·陶布斯是这些数学家听众中的一个;他很快看出了威滕才写下的新方程的潜在含义并立即着手研究它。陶布斯并不清楚如何从数学上证实威滕关于这一新方程的解与自对偶方程的解相互关联的论断,但他能看出新方程的解理解起来容易多了。它们涉及U(1)规范场,而不是唐纳森使用的SU(2)杨-米尔斯规范场,而U(1)作为一个可换群,相比于非可换的SU(2),让问题大为简化。陶布斯很快意识到,他和唐纳森理论的其他专家利用自对偶方程艰辛钻研所获得的一切结果都可以转而利用威滕的新方程几乎不费吹灰之力得到。陶布斯在哈佛大学的一位同事,数学物理学家亚瑟·杰斐描述了事情的后续:


于是在10月6日的物理讲座之后,哈佛大学和麻省理工学院一些听过演讲的数学家与他们在牛津大学,加州理工学院以及其他地方的朋友通过电子邮件交流了【对新方程】的评论。很快答案开始以令人窒息的速度呈现出来。许多不同研究中心的数学家废寝忘食,但也收获颇丰。他们重新证明了唐纳森的主要定理,而且几乎每天每夜都能得出新结果。随着这些工作的进行,一些故事开始流传起来:年轻数学家们出于对自己职业生涯坍塌的恐惧,会没日没夜地持续工作,以图比其他地方的某个竞争对手早那么一小时,甚至几分钟,把自己最新的成果在网上公布出来。这是一场优先权的竞赛,在这里睡眠与心智被牺牲掉,只为能在汹涌而来的成果潮流中保持在最前列。基本上唐纳森理论十年的成果在1994年10月的后三个星期内就被重新建立,修订和推广了。 (Jaffe A. , 2004, 页 105-116)


陶布斯11月2日在哈佛大学以“威滕的神奇方程”为题做了一次报告,宣告了唐纳森理论的死亡和一个新领域的诞生。这一新领域基于将自对偶方程替换为塞伯格-威滕方程,因而被称为“塞伯格-威滕理论”。威滕仅仅告诉专家们去考虑哪个方程,就导致数学中一整个子领域在短短几周内彻底改头换面了。那些专精于四维拓扑的拓扑学家们,哪怕之前强烈怀疑威滕数学想法的价值,也立刻改变了观念,并心服口服地表示,至少事后 来看,他获得菲尔兹奖完全是理所当然的。


威滕的陈-西蒙斯理论和唐纳森拓扑量子场论激发了关于三维和四维空间以及三维中的纽结拓扑方面的新思想。除此之外,威滕还在1988年早期想出了第三种拓扑量子场论。这第三种理论的存在也是阿蒂亚一年前在杜克大学的报告中预言过的。类比流代数中用到的所谓西格玛模型,威滕把这种新的量子场论称为拓扑西格玛模型。一般而言,如果一个量子场论中关联到每一个时空点的场不是一个数或矢量,而是身为某个维度的弯曲空间的一个靶空间中的点,这种场论现在被物理学家称作西格玛模型。流代数中出现的西格玛模型的场将一个群元素关联到每一个时空点,因此靶空间就是一个群。一个群所有可能元素构成的空间是具有一定维度的一个弯曲空间。对U(1)群而言,它就是一个圆,维度为一。对SU(2)群来说,它是一个三维球面,一个球的两维表面的高一维的类比。


威滕的拓扑西格玛模型是两维量子场论中的一种西格玛模型,其靶空间具有某种所谓复结构。如果一个空间中每一点的邻近点都能以复数坐标来标记,这一空间被称为具有复结构。几何上来看,这意味着每一点处坐标的一个90度转动被挑选出来,以确定将坐标乘以-1的平方根时的行为。事实上并非所有空间都具有复结构。一个显而易见的必要条件是,空间的维度必须是偶数,因为每一个复数坐标对应着一对实坐标。


在拓扑西格玛模型中,两维时空与靶空间都具有复结构,因此你必须对场施加一种解析条件,很像我们之前在共形变换的情形讨论过的一样。这一条件大致是说,如果将时空坐标或是靶空间坐标乘以-1的平方根,一个场保持不变,则被称为解析的。尽管一般来说可能的场构型的数量是无穷大,解析的场的数目就小多了,有时甚至是零或是一个有限的数。


威滕的拓扑西格玛模型的观测量本质上就是这些解析场的构型的数目。这些数目就是威滕第一种拓扑量子场论中的唐纳森多项式在这一模型中的类比。而事实上,计算这些数目的问题是一个叫做代数几何的数学领域的一部分。代数几何是具有悠久和复杂历史的一个数学分支,而在20世纪后半叶更是达到了精雕细琢的程度。简单来说,代数几何是研究多项式方程组的解的。这些方程组可能没有解,有有限个解,或是无穷个解。在高中数学中你会学到如何找出一元多项式的根(设一个多项式为零的方程的解)。代数几何研究类似的问题,不过现在不止一个多项式,也不止一个变量。


就跟单一变量的单一多项式情形一样,如果你使用复变量整个问题会得以简化,而这正是代数几何学家们经常做的。当一组多项式方程具有无穷多个解时,你可以把这些解看成一个新空间中的点。点是多项式方程的解的这类空间可能极不平凡,而它们就是代数几何研究的主要对象。当多项式方程是复变量方程时,这些解的空间也能赋予复坐标。这些解空间正是能作为威滕的拓扑西格玛模型的靶空间的一类空间,因此你可能会希望这种量子场论包含了关于它们的新信息。大致想法是,对于每一个解空间,拓扑西格玛模型会给出一个数(解析场的数目),而这个数是某种拓扑不变量。给定两个不同的解空间,证明它们确实不同的一种方法就是计算出两种情况下解析场的数目,再表明这些数目是不同的。


正如威滕的第一种拓扑量子场论并没能告诉拓扑学家关于唐纳森不变量的任何他们尚未知晓的信息,拓扑西格玛模型实际上也没有告诉代数几何学家关于解析场数目的任何他们尚未知晓的信息。在后续的一些年里,许多物理学家研究了这一模型,而最终他们从中学到的内容让数学家们对这一主题兴趣大增。拓扑西格玛模型是一种超对称量子场论,而且威滕在其中也使用了在唐纳森的情形中使用过的扭转一个超对称理论的同种技巧。此外,它还是共形场论的一个范例,因为它的观测量在两维时空包括共形变换在内的所有变换下保持不变。到1988年关于共形场论人们已经知晓了许多,而这一信息被应用上了。对这类超对称共形场论的一个已知事实是,给定一种这样的理论,你可以对它施加一种简单的变换,进而得到一种全新的不同理论,但又与之紧密相关。如果你进行两次这样的变换,你又回到了原始理论。这很像镜面反射的对称性变换,因此被称为镜像对称性。


如果你从某个靶空间出发, 构建相应的拓扑西格玛模型(因此也是一个共形场论),接着进行镜像反射,那么新的共形场论是什么样子的呢?它会是另一种拓扑西格玛模型,但具有一种不同的靶空间吗?如果这样,新的靶空间被称为原始空间的镜像空间。物理学家布莱恩·格林与罗南·普莱塞在1990年发现了这样的一对镜像空间,而德克萨斯大学的菲利普·坎德拉斯及其合作者从1991年开始研究了许多例子。坎德拉斯等人发现的例子之一后来激起了代数几何学家们极大的兴趣。它涉及被他们称为“五次三维流形”的一种靶空间,因为它是一个五次多项式的解的空间,并且具有复三维(因而是实六维)。如果将两维时空取成球的表面,五次三维流形的解析场计数问题在代数几何学家中是众人皆知的。解析场可以用一个整数来分类,即所谓的阶,而一阶和二阶的情形已经知晓。一阶这类场的数目早在19世纪就已经知道是2875,而二阶的数目也已由谢尔登·卡茨于1986年计算出来是609250。对三阶的计算仍在进行当中,但数学家们还不知道如何处理更高阶。人们甚至并不清楚是否在每一阶,解析场的数目都是有限的,尽管代数几何学家赫伯特·克莱门斯猜想答案应该是肯定的。


坎德拉斯小组所能做到的事情让数学家们目瞪口呆。通过在镜像空间上进行一种不同类型的计算,他们得出了一个公式,从而一次性地给出了所有阶的解析场的数目。这正是在塞伯格-威滕故事中出现的同种情况:原始的拓扑量子场论并没能让问题易于计算,但它可以被关联到另一个理论,其中的计算戏剧性地简化了。最初,数学家们对这一结果有些半信半疑。物理学家的镜像空间方法预言存在317206375种三阶解析场,但两个数学家的一项计算却给出了一个不同的结果。很快他们在自己的计算中发现了一个错误,而在纠正这一错误之后,得出了跟物理学家们相同的数目。这一结果深深触动了许多代数几何学家,因为他们的数学领域传统上跟物理学几乎毫无关系。阿蒂亚的数学专长之一正是代数几何,据说他对此评论道,如今他和他的同行们可能得通过阅读粒子理论家们的主流期刊,核物理B,来获知他们自己领域的最新进展了。


在过去十年里,镜像对称领域极其活跃,激发了数学家和物理学家之间持续的互动,而同时双方又各有其独特的视角。数学家们的努力大多投入到试图为物理学家利用量子场论语言做出的预言用精确的语言重新表述进而严格证明上。一些新的数学证明利用了所涉空间的对称群方面的想法,而这方面的内容在最初的镜像对称工作上几乎没出现过。物理学家们则探索出介于拓扑西格玛模型(特别是一个被称为“拓扑弦”的变体)、威滕的陈-西蒙斯版本的规范理论、涉及在某些群比如大N情形下的SU(N)上的积分的“矩阵模型”以及许多其他领域之间的一系列令人眼花缭乱的联系。这些工作的动机大多是试图以弦理论来理解大N规范理论,不过是在一种简化的情形下,其中规范理论和弦理论都不是完整的物理上感兴趣的,而是只承载了拓扑信息的版本。许多涉及数学中不同领域之间令人始料未及的关系的新猜想层出不穷,带来了新的激动人心的难题,等待着数学家以及物理学家去继续探索。


Bibliography

Atiyah, M. (1989). New Invariants of 3  and 4 Dimensional Manifolds. In The Mathematical Heritage of Hermann Weyl.   AMS.

Bott, R. (1988). Morse Theory   Indomitable. Publ. Math. IHES 68.

Jaffe, A. (2004). The Role of Rigorous Proof in Modern Mathematical Thinking. In T. H. Kjeldsen, S. A. Pedersen,   & I. M. Sonne-Handsen, New Trends in the History and Philosophy of   Mathematics. Odense University Press.

Witten, E. (1999). Michael Atiyah and the   Physics/Geometry Interface. Asian J. Math. 3, lxi-lxiv.






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