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为什么i的平方等于-1

已有 1255 次阅读 2021-1-12 07:52 |系统分类:科普集锦

为什么i的平方等于-1

周铁戈

学过复数的同学都知道一个复数可以写成a+ib的形式(比如3+5i就是一个复数),其中i是虚数单位,ab都是实数,分别称为复数的实部和虚部。这个i可是大大的有名,因为i2=-1(就是i×i=-1),不符合我们的常识,因为我们都知道一个数的平方肯定是要大于或等于0的。i2=-1是怎么一回事儿?究竟应该如何理解?网上有一个很有意思的问题:复数里i的平方等于-1,那i等于什么? 本文将对此进行回答。

其实一个复数可以与平面上的一个点相对应,包含两个实数(也就说是复数并不是一个我们孰知的数,而是两个)。先看复数的运算,两个复数相加时,(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d),就是实部和实部相加,虚部和虚部相加,结果是一个复数。两个复数相乘时,(a+ib)×(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc),是按照乘法分配律进行的,同时要求i×i=-1,结果也是一个复数。这样可以利用复数的加法和乘法运算规则来给出复数的严格定义,设有序实数对(例如(a, b)(c, d)),遵从下列运算规则:

    加法,(a , b)+(c , d) = ( a+c ,  b+d)

    乘法,(a , b)×(c , d) = (ac-bd , ad+bc) 

则称有序实数对为复数z,记为z = (a, b)z=a+ib

从这个定义可以看出,每个复数其实是两个实数。i并不存在于定义中,i = 0+1i =0, 1,所以i其实是(0, 1)-1=-1+0i=-10,也不是一个实数,而是两个实数,-1其实是(-1, 0)i2中的平方也不是实数中5×5=25的乘法,而是按照()给出的乘法。所以i2=-1的真实含义是01×01=-10i只是01的简单记法,引入i可以简化计算。

简单介绍一下复数的历史,笛卡尔(法国哲学家、数学家、科学家,15963311650211日)首先提出虚数这个词,指的是一个复数中的ib部分。当时的观念认为这是真实中不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实。1777年欧拉(瑞士数学家、自然科学家,1707415-1783918日)开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+ib的形式,称为复数。

平面上的一个矢量也用两个实数表示,比如F =FxFyFx是横轴方向分量,Fy是纵轴方向分量。两个矢量可以相加,比如E=ExEy,则 E + F =ExEy+FxFy=Ex+FxEy+Fy。到这里我们能够发现复数和二维矢量有3点是完全一致的,1、都用两个实数表示;2、都可以对应于平面上的一个点;3、具有相同的加法运算规则。复数和矢量的区别在乘法上,复数的乘法我们已经看到了(a+ib)×(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc),结果是一个复数。矢量的乘法是什么样子的呢,平面上矢量之间的乘法称为内积,比如E·F= Ex×Fx+Ey×Fy“·”表示内积运算,两个矢量相乘得到的结果是一个实数,而不是一个矢量。这就可以看出复数和矢量的区别了,是乘法中存在区别。

我们已经知道复数的特殊性出现在乘法规则上,那复数的提出究竟有什么意义呢?看下面的积分

 

这是一个实变函数的积分,利用高等数学中的知识是很难计算出解析结果的。但是如果利用复变函数的理论就能很方便的计算出结果为π/2。还有复变函数理论中的保角变换法可以解决流体力学、空气动力学、场论等多方面的实际问题。

 



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