像1，2，3一样简单

人来到这个世界是准备数他（她）创造的奇迹的

这个婴儿宝宝只有一天大，还没有离开医院。她安静地躺着但很警觉。在离她的小脸20厘米的地方，研究人员放了一张上面有两个黑点的白色卡片。她专注地盯着它。一名研究人员移走了这张卡片，换上了另一张，这张卡片上也有两个黑点，只不过黑点间的距离和刚才的不一样。随着这两张卡片的交替出现，她开始不专心地注视了——直到有三个黑点的第三张卡片出现，她又开始凝视了：她注视第三张卡片的时间是看前一张卡片的时间的两倍。一个来到这个世界仅仅24个小时的婴儿，她能分辨数字2和3不同吗？

或者新生儿只是简单地更喜欢较多的吗？但是，先出示有三个黑点的卡片再换上有两个黑点的卡片，做同样的实验，当黑点的数目变化时，新生儿同样表现出专注的恢复。也许这是新生儿感到新奇的表现？当向稍微大一点的婴儿展示一些家庭用品的图片卡而不是黑点时（如一把梳子，一把钥匙，一个橙子等等），改变物品的数目和改变物品本身得到不同的结果。与展示三件东西相比，展示两件东西得到的结果有可能和新生儿相同吗？结果没有重复出来。当这些卡片的数目从两个变成三个时，婴儿们较多注意的是这些长方形（卡片是长方形的）随意地在屏幕上移动，反过来也是一样的（即卡片数目从三个变成两个）。这种结果甚至在婴儿的感觉之间也有反映。反复看到两个黑点的婴儿，当他们听见三声鼓声时，要比听见两声鼓声时更加有精神；同样地，当研究人员用鼓声开始，再移动黑点时，婴儿的表现一样。

19世纪心理学家威廉·詹姆斯（William James）认为，当世界第一次出现在新生儿面前时，他描述为“一次伟大的开花，喧闹混乱”。但是以上这些实验，以及在过去几十年里进行的许多类似的其它实验，让研究人员确信：与威廉·詹姆斯说的正好相反，婴儿生而具有很多理解他们所见所闻的途径或方式。这个窍门就是，婴儿用他们对新鲜事物的喜爱，来弄清楚他们大脑里正在发生的事情：当向他们反复展示同样的东西时，他们的眼神不再专注；当场景变化时，他们又开始专注。对婴儿来说，构成他们周围世界的值得注意的变化的东西，是看得见的。

逢十进一

理解这个世界的诸多方式中，有一个就是通过数字。人生来就有一种先天的感觉，即能感觉出在小部分聚集在一起的物件中有多少个物体。曾做过这样的实验：向年龄较大的儿童和成人展示随机安排的圆点，请他们快速说出有多少个。实验结果表明，这种先天的感觉终生保持。对于三种或四种物品，它们的数目无需计数立刻就能得到。在有限的范围内，可以说人类是天生的算术家。在几个月大的婴儿面前展示玩具娃娃，当把玩具娃娃放在窗帘的后面和从窗帘后面拿走时，他们对窗帘拉开时将看到的玩具娃娃的数量有正确的期望值。并且，当那些期望值受到大人们的故意干扰时，他们感到很惊奇。实际上，婴儿们看到玩具娃娃的数量与期望值不符时，表现出的惊奇比二者相符时更大。

一些动物似乎也能察觉和理解小的数字。20世纪30年代，德国动物学家奥托·克勒（Otto Köhler）训练乌鸦来打开盒子，盒盖上圆点的数目和一位研究人员拿着的卡片上的数字相同时，乌鸦就打开盒子。一只乌鸦学会了辨别2、3、4、5和6个圆点。老鼠能学会在选择进入迷宫中哪一个门之前，并不理会门的数量。黑猩猩已被教会了把数字1到6跟显示器上的物体的数目匹配起来，并能发现藏在两个不同地方的桔子，指出表明它们总数的数字。

更惊人的是，一些野生动物没有经过训练似乎理解和使用数字的事实。英国萨塞克斯大学的卡伦·麦库姆（Karen McComb）录制了塞伦盖蒂国家公园（Serengeti National Park，位于东非大裂谷以西，阿鲁沙西北偏西130公里处，一部分狭长地带向西伸入维多利亚湖达8公里，北部延伸到肯尼亚边境。面积12,950平方公里，是各种迁徙动物的集中地，已被列入世界自然遗产名录——译者注）里夜晚多种狮子的吼声——不同数量的狮子；狮子依次吼叫的声音和相互重叠的吼声；等等。她想检验这个理论：因为狮子之间的大战代价太大了，当狮子听见大量入侵者的吼声时，它们将撤退，除非它们占据数量优势。对她观察到的现象最好的解释是，狮子能从不同的吼声的数目估计出入侵者的数量，将入侵狮子的数量与自己的数量进行比较，然后决定攻击或是逃走。

人类（或许还有其它的动物）对数字敏感的事实，与流行的两个竞争的理论相矛盾：柏拉图主义和建构主义。柏拉图认为，数字（和几何形模型如圆周）存在于一些抽象的、永恒的和完美的领域，凡人仅被给予了偶然的一瞥。建构主义者遵循着瑞士儿童心理学家让·皮亚杰（Jean Piaget）的理论，认为人们通过在现实世界里移动东西和观察结果，在生命的最初几年里“建构”了对数字的理解。这些理论尽管抽象，但是二者间的区别也有实用价值。“数学恐惧”可能是天生的，而不是后天形成的吗？它能被治愈吗？数学能被更好地教给所有人吗？

大脑中的数字

伦敦大学学院（University College London，缩写为UCL）的认知神经科学家布赖恩·巴特沃思（Brian Butterworth），花费了他职业生涯的很多时间，搞清楚了人类对数字的理解力哪部分是天生的，哪些是后天学习获得的，以及如何获得的。他认为，人生来就有专注于认出和理解小部分聚集在一起的物件中物体的数量的“脑回路”（brain circuit）。在“脑回路”的基础上，随着儿童意识到越来越大的数可以通过增加“又一个”来达到，随着儿童通过体验这些较大的数是如何表现的来学习，一个完整的“数觉”（number sense）被建立起来。

他最近的工作已经证实，要开发比新生儿更好的数字理解力，没有必要要求能够用数字来计数。他与一些澳大利亚研究人员合作，检验了澳北区（Northern Territory）土著居民儿童的数字理解力。这些儿童仅懂一种语言，即“瓦尔比里语”（Warlpiri）和“阿宁地拉克瓦语”（Anindilyakwa）中的一种。在这两种语言中，表示数字的词仅仅是一、二、很少和许多。（一般认为，表示数字的词是在人们种植农作物或饲养牲畜的时候和地点出现的。狩猎采集阶段的营居群体，没有牲畜或其它的财富储存，不需要记录剩余物或贸易平衡。）

参加测试的儿童年龄较大，不适合再做婴儿凝视的小把戏，但是他们也无法回答这个问题“这是多少个”？于是研究人员就布置了一些计数器，把它们放在合适的地方，请参加测试的儿童“照着我做”。为了检验他们正在使用计数器的数字，而不是模仿研究人员的样子，研究人员一起重击操作杆，请儿童们也“重击计数器，发出噪声”。这些儿童表现得和居住在墨尔本的说英语的土著儿童一样好。

在历史上，一种常用的计数方法一直是用身体的某些部分来记录累积总数。现代算术中使用的十进制是由手指发起的，那个事实的语言的遗迹保留在“五”（five）、“手指”（finger）和“拳头”（fist）这些词的相似性中，以及“digit”这个词的双重意义（“digit”有“数字”，“指头”之意——译者注）。一些人认为，欧洲最初的居民是用20进行计算的，这正好是手指和脚趾加起来的数目——“score”这个单词至今还用来表示“20”和计数可能是历史的遗迹。并且，现在还保留着这样的部落民族，它们仍有使用眼睛、鼻孔、手肘等来计数的详尽方法。

从算术上讲，以12，24和60为基数的进制有其吸引力（它们比十进制有更多的影响因素）。这三个基数仍用于计时。4,000年前，古巴比伦人曾用基数60来做一些相当高级的数学题目。但是手指用于计数的优势是特别明显的。在另一项最近的研究工作中，巴特沃思博士和墨尔本大学的罗伯特·里维（Robert Reeve）观察到，（讲英语的）五岁和六岁的孩子数数和做简单的算术题，大部分孩子用手指，但大约四分之一孩子不用。不用手指的孩子中，一半稍多一点的都是算术很好的，大概他们已长大不再需要用手指了。其余的孩子，无疑算术较弱，似乎还没有意识到他们的手指能够帮忙。

80多年前，奥地利神经学家约瑟夫·格斯特曼（Josef Gerstmann）描述了一组问题，这些问题似乎同时出现在大脑的左顶叶（left parietal lobe）遭受了损伤的人身上：发现他们书写困难或无法书写，不能理解算术或分不清左右，辨认人的手指有困难。这些症状是否构成了一个综合征？现在仍没有达成一致。但是，用来存储关于数字事实的这部分大脑，和用来代表手指的这部分大脑，是彼此接近的。因此，数字和手指的心理表征在机能上可能是连接在一起的。

2005年巴特沃思博士和他的同事请若干人来做一些需要灵巧性才能完成的工作，包括将数字匹配成对，而这些人的被称为左角回脑（left angular gyrus）的大脑顶叶（parietal lobe）区域受到了磁场的刺激。结果发现，灵巧性和回想涉及数字的事实这两方面都受到了损害。因此，数字和手指之间的联系可能比手指数数的灵巧性更加深奥。

对一些人来说容易

如果数字是被一些史前的天才发明的，那么学会如何使用数字将是一件需要智慧和实践的事。但是，对大部分人来说是自然的东西，在少数人中是缺乏的。这就像一些人天生是色盲，或者在脑损伤后失去了色觉（colour vision），有些人是“数盲”（number-blind）：他们不能理解其他所有人毫不费力明白的东西。那种不足可能会让他们的其它能力——包括别的数学能力——未受损伤。

巴特沃思博士讲了查尔斯（Charles）——一个有终生数学困难的小伙子——的故事。只有当用手指的时候，他才能将两个一位数相加。涉及到二位数、乘法或减法的算术题，他就不会做了。购物时，他既不理解价格也不明白零钱。测试表明，他不仅仅是对数学的病态性恐惧。他不仅远低于平均水平，而且他测试结果的模式非常奇怪。

在一次测试中，给查尔斯（Charles）展示了两个数字，请他指出较大的数。两个数之间的差距越大，大多数人越能更快地指出来：当出示9和2和出示9和7时，他们对前者能更快地说出“9”。但是对查尔斯来说，情况正好相反——并且，研究人员能明白这是怎么回事。查尔斯不是直接告诉答案，而是从一个数（用手指数）数到另一个数。这就意味着，他一定从较小的数开始，否则他数到十后，必须要从较大的数开始。更惊人的是，他缺乏大多数新生儿都拥有的基本计数能力：新生儿仅仅通过看，就能分辨出一小撮物件中物体的数量。当他被问到一张纸上有多少圆点时，他仍要通过数手指解决——甚至当只有两个圆点时。

尽管很严重，但是查尔斯的缺陷似乎只影响了他的计数能力。在脑损伤的病例中，人的数字缺陷（其它能力正常）可能更加引人注目。神经生理学家丽莎·斯波罗蒂（Lisa Cipolotti）研究了加蒂夫人（Signora Gaddi）的情况，加蒂夫人过去经营着一家旅馆维持生计。中风后，她只有通过数数才能知道一小撮物件中物体的数量——当被问到十字架上的耶稣有几条手臂时，她让斯波罗蒂博士伸出手臂，以便能数数。加蒂夫人的问题似乎只影响了数字能力。她仍能阅读、说话、推理，记起一些历史和地理事实，按照东西的实际大小定购它们。

实际上，加蒂夫人的问题甚至比查尔斯的还要大。中风损害了她天生的对小数字的理解力，也剥夺了她的建立在此基础上的完整的数字大厦。对加蒂夫人而言，数字在4停止了。当被问到从1开始能数到几时，她只能数到4就无法继续了。如果一张纸上有4个以上的圆点，她就不能数出它们。她不能说出她多大了，也不能说出一星期有几天，甚至无法告诉你现在几点。

“我讨厌学校的数学”

从程控的芭比娃娃（Barbie dolls）说出“数学课是很难的”，到将分析和研究一个句子但拒绝回答“四分之三的一半是多少”的国务大臣，数学恐惧症是处处存在的。一个原因就是，数学建立在它自身之上，因此错过的一步可能导致终生失败。并不在于算术题有明白的对和错的答案，而是它要使同学们都明白一个孩子应该知道和不知道的东西。然而在数学的落后者中，问题比恐惧和厌恶更严重的是计算障碍（dyscalculia）。研究人员已经开始唤醒那些“数觉”（number sense）受损的人。在古巴首都哈瓦那（Havana），对一个代表性儿童样本做的数字测试表明，普通人群中计算障碍的比例是3-6 %。

怀疑论者也许觉得这是一个过头的学习障碍——对中产阶级的父母来说，这是又一个将孩子们分为不同阶层而不过分的一个机会。或许，计算障碍将聚拢怀疑病例的半阴影，就像阅读障碍一样，但或许也不是这样。阅读障碍（dyslexia）表现为阅读困难，阅读成为一种高度不自然的活动。相比之下，计算障碍的最好的单一预示方法就是，在数一张纸上有几个点时的异常缓慢，而这对大多数人来说是不费吹灰之力的事。