疯狂的涨落

涨落理论告诉我们温度的涨落大小为 

<△T²>=k_BT²/C_v ，    (1)

其中k_B为玻尔兹曼常数，T为温度，C_v为等容热容量。

当温度趋于绝对零度的时候，(1)式的分子以T的二次方趋于0，而C_v趋近于0的速度往往比T²还要快。

例如一般固体的热容量以T³的速度趋近于零。

这将导致一个及其荒谬的结论，也就是在绝对零度的时候温度的涨落无穷大！！！这个物理图像让人无法想象，因为在绝对零度的时候系统应该处于基态，没有激发，那么温度何来的涨落呢？

笔者曾经在《大学物理》上不少人为了这个温度涨落公式而争论，更有人依据这个公式发文说在绝对零度下，热力学失效了！！！

出路在哪里

热力学真的失效了吗？我个人并不认同在绝对零度时热力学失效的说法。那么真正的出路在哪里呢？仔细审视(1)式的推导过程(文献[1]的第10章第1节)，不难发现，这是将系统的能量E在平均值附近用熵S展开到二阶得到的结果，其本身就是一个近似的公式。也就是说(1)式仅仅是温度涨落的第一项，还有很多“小”的项并没有给出来。在一般情况下，(1)式本身就具有足够高的精确度，然而在温度趋近于绝对零度时候这些“小”项就起了主要作用。如果把这些“小”项全部都找回来，就可以发现温度的涨落在绝对零度下是等于0的。

读者可以自行验证固体的温度涨落，只要把文献[1]中的公式(10.1.8)展开到五阶(如果我没有记错的话)，就可以得到一个收敛的温度涨落了。

另一种方法

本人在多年前曾经用另外一个方法研究了这个问题[2]，有兴趣的朋友可以去阅读一下。现在就把该结果贴在这里。下图中实线是(1)式的结果，虚线是用文献[2]中的方法计算出来的温度涨落。从图上可以看出，在绝对零度下温度涨落等于0，而(1)式仅仅在温度较高的时候成立。

参考文献

[1] 汪志诚，热力学·统计物理，第三版，北京：高等教育出版社.

[2] 侯吉旋，王鑫，黄姗等. 简单体系温度涨落的发散问题[J]. 物理学报，2006，55(4)：1616—1621