思想海洋的远航分享 http://blog.sciencenet.cn/u/xying 系统科学与数学水手札记

博文

狄拉克δ函数应用的迷思 精选

已有 20689 次阅读 2015-6-12 08:06 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 工程, 应用数学, 电路

理工科学生都知道狄拉克δ(x) 函数。作为解决实际问题的数学模型,它基本有两种用法。一是类比于分布函数,把所有权重集中在一点,用积分来抽取与之相乘的函数在这点函数值。狄拉克在获取连续谱波函数分解系数时,以此来与离散谱的计算保持形式和直观上的统一。傅立叶变换与傅立叶级数分析的类比即是如此。另一,常用在工程中,称为单位脉冲函数,作为简化计算的近似数学模型,计算系统在极短时间内供应了总量后的状态变化。前者模型关心极限处的性质,用有穷的此岸推测无穷彼岸中的表现,后者用极限来近似现实中瞬间作用后的状态。这两种应用的模型很容易转换地想象,互相解读,非常直观。

$\delta(t)= \right\displaystyle \left\{\begin{matrix} + \infty &\mbox{if} & t=0 \\ 0& \mbox{if} & t\neq 0\end{matrix}\right$    和     $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$

这是人们通常了解δ函数的基本性质。上篇《狄拉克δ函数的数学迷思》里谈过,在严格数学意义上,δ函数不是数域到数域的函数,而是个定义在函数空间上的泛函。上面的两个公式不是δ函数的真正定义,前者只是它在函数对偶空间以参数为变量的范数值函数,或看作单位脉冲函数极限情况的性质;后者则是对常值1函数积分内积的泛函值。它们都不足以确定广义函数,只是部分性质的描述。真正能够反映泛函功能的定义应该是:

$\int_{-\infty}^\infty f(t)\delta(t-s)dt = f(s) \;\;\;\forall f\in C^0(R)$

从δ(x) 函数容易推出一些初等性质,如缩放、对称、平移、线性、代数、微分等等,也有许多典型用法的范例,物理和工程学生多已熟知。有这些知识后,在绝大多数情况可以忘却数学上泛函的定义,以上述δ函数基本性质为数学模型,只用到初等代数运算和微积分的基本概念,便能让物理学者和工程师不需要解微分方程,凭借直观推理得出许多问题的答案。

学了更多数学知识的人会以为,用这个只需要初等数学的工具解题,应该不是件难事。其实,按数学从定义开始的严格推理,与应用者拥有许多已知实例和模式来直观推算,是两种不同的才能。就像程序员自始至终独立开发软件,与在所知甚少已有的大程序中纠错扩展,这是两种不同的技能。

物理学者和工程师的基本功是直观想象,用一个个可以清晰想象的概念作为思考的砖块,被验证或证明成立的事实和理论作为构件,典型模式作为算法结构,通过逐步的推测来理解事物,以此构建心中世界的图像。在这过程中,累积了大量的实例、推理模式和抽象规律。应用起来左右逢源,不再纠结于长考。凡对所学没有清晰图像的人,书没读通,更无把握应用和研究。

现在将δ函数的一个应用为例,挖掘工程师知其然背后的所以然。也以此说明,对工程师们都能轻松解的题,缺乏经验即使更有数学知识,却会在深思中迷惑。

下面是清华大学的电路原理课一道题(图例抄自课文),在几个论坛里,就见过电机、物理和数学大学生和教授,对电阻R上的初始电流 $i_R(0)$ 值的解题争议。吵什么呢?

对工科生都不难推算如下。这个脉冲电源供给的电量 Q 1mC(题中没给出单位,毫库仑是对电子电路合理的量级),在极短的瞬间加在1mF电容后,产生的电压是 U= 1mC/1mF = 1V,这电压加在电阻 R=1kΩ 上的电流是 IR(0) = U/R = 1V/1kΩ= 1mA,经过1RC电路放电后,电流是 IR(1)= IR(0)exp(-1/RC) = 0.368mA. 这不过是考RC线路电流和电学单位而已。

详细点写出公式和推理过程。电量是电流在时间区间上的积分。在脉冲源供电时,这瞬间,电源上所有的电量 Q 都到了电容。按电容上电压与电量的关系,这时电容C两端的电压是 $Q/C$。与之并联的电阻有相等的电压,所以电流 $i_R(0)=Q/RC$。当 $t > 0$ 时,脉冲电源不再供电了,这是典型的电容通过电阻的放电过程,已有熟知的公式:$ i_R(t)  = i_R(0)\exp(-\frac{t}{RC})$。套入数值便得到答案。

对爱思考的人,质疑来了。针对这个推理过程中δ函数作用,凭什么脉冲电源中所有电量都到电容里,去电阻的只有0

答:供电时,因为持续时间极短,在这无穷小的瞬间,通过电阻的电量为0.

又问:这只有现实中通过电阻的电流 $i_R(0)$ 是有限情况才对呀!既然电源的电流δ(0)可以是无穷大,在这假定的极端情况,为什么 $i_R(0)$ 不能也是无穷大?

这就需要用电压等式来进一步解释。如果 $i_R(0)$ 是无穷大,则电阻和与之并联电容上的电压也是无穷大。这只有电容上的电量也是无穷大才有可能,而已知的电源总电量是1,矛盾排除了这个可能。所以 $i_R(0)$ 必须是个有界的数,不论是多少,这个瞬间流过电阻的电量都是 0。所以说,电源中所有的电量,在无穷大电流下一瞬间都给了电容。当然,实际电路上的电流不可能是无穷大,也没有供电区间为 0 的δ函数电源,但上述的分析推算,不难看出是一个很好的近似,当供电区间非常小时,脉冲电源的电量几乎全到了电容上。在极限情况则全部是了。

既然质疑这 $i_R(0)$ 的数值,我们最好验算一下。这关于电压电流均衡状态的数值,最好用方程来说明。在电源充电的瞬间,根据电流和电压公式,分别有:

$i_R(t)+i_C(t)=\delta(t)\;\;\;(1)$                 $i_R(0+)R=\frac{1}{C}\int_{0-}^{0+}i_C(t)dt\;\;\;(2)$

将式(1)在[0-, 0+]区间(0的无穷小邻域)积分,代人(2)式后有 $\int_{0-}^{0+}i_R(t)dt+i_R(0+)RC =1$ ,便得到 $i_R(0+)=1/RC$ ,这与工科生的算术推理完全一样。

有人再较真这电容的瞬间充电过程。一说是电容在开始充电的瞬间形同短路,它上面的电压是 0,所以电阻上的电流也应该是 0 才对。而上面认为,这电压不是 0,是电容上被脉冲电源瞬间建立起的电压,因此电阻上的电流必须是上面的计算数值。也有的说,这该是你们说的两数中间值。

到底哪个对呢?其实各有道理,一个着眼于电源开始供电的时刻,另一反映了供电完成时刻,还有的在中间。将这供电的瞬间从 0 拉长为实际的区间,在开始供电的过程中,电阻上的电流随着电容充电建立起电压,从 0 开始上升直到最大。在电源停止供电后,才从最高点按指数函数下落。δ(t) 函数是将这个脉冲电源供电区间收缩为一个点的极限情况,所以在这个时间点上,电阻上电流的数值可以是从 0 1/RC 区间中某个数值,依它是从脉冲函数的什么相位来看而定。

认真地用数学证明方式验算一下,假设电源供给矩形脉冲电流是:$H_{h,k}(t)$,这里 h 是脉冲时间区间的宽度,k 是在 0 到 1 中的一个时间相位值,我们来看在这供电区间电阻上的电流是多少。

                        $H_{h,k}(t) = \right\displaystyle \left\{\begin{matrix} 0 &\mbox{if} & t<-kh \\ 1/h & \mbox{if} & -kh \le t \le (1-k)h \\ 0 & \mbox{if} & t > (1-k)h \end{matrix}\right$

这个矩形电流脉冲的宽度是 h 高为 1/h,所以总电量是 1,脉冲从 $–kh$ 时刻开始,  $0\le k\le 1$。不难列出这电路上在电阻电流 $i_R(t)$ 的微分方程

$\frac{d }{d t}i_R(t)+\frac{1}{RC}i_R(t)=\frac{1}{RC}H_{h,k}(t)$  它的解在 $-kh \le t \le(1-k)h$ 区间是:

$i_R(t) = \frac{1}{h}(1-\exp(-\frac{t+kh}{RC}))$  我们有 $i_R(0) =\frac{1}{h}(1-\exp(-\frac{kh}{RC}))$

当脉冲宽度趋向 $h \rightarrow0$ 时,矩形电流脉冲函数 $H_{h,k}(t) \rightarrow \delta(t)$,这时有: $i_R(0) =\frac{k}{RC}$k 0 1 中的一个数,所以依 0 点在脉冲电流源的相位,$i_R(0)$,可以是 0 1/RC 中的某个数值。

再回到极限前的情况,注意到在 0 点矩形电流脉冲并没有结束供电,供电结束是在 $t=(1-k)h$ 时刻,这时电阻上的电流是:

$i_R((1-k)h)) = \frac{1}{h}(1-\exp(-\frac{h}{RC}))$

当脉冲宽度趋向 $h \rightarrow0$  时,电流脉冲 $H_{h,k} f(t) \rightarrow \delta(t)$,供电结束时间 $t=(1-k)h  \rightarrow0$,记为 0+,在这时刻 $i_R(0_+) = \frac{1}{RC}$,可以证明,这对于无论什么样的脉冲电流源理想化成δ函数都是一样的。

数学上 $i_R(t)$ 0 点是个函数值从 0 跳跃到 1/RC 的间断点,作为这点的定义值,它具体是哪个数值,对工程应用并没有什么意义,而右极限 $i_R(0_+)$ 的数值,是脉冲电源供电后决定后续变化的初值。所以在应用上不再区分00+,认为 $i_R(0)=i_R(0_+)$。在脉冲电源供电期间,通过电阻的电量是它上面的电流对这段时间区间的积分,不难算出当 h 很小时约等于 $h/(2RC)$,以致在极端情况可以忽略。这时所有的电量可以看作都加在电容上。

这便是对这种应用模式的工科计算,穷究到底的数学依据。在分析δ(x) 函数作为动力源的工程系统中,有了可以模仿的范例后,工科生都会很自然地认为它所带来的总量在 $t = 0$ 时刻,可以完成对电容的全部赋予,用直观的算术推理便能得出答案,而不必重覆细究这应用模式的细节证明。

在这里我们可以看出数学和应用者的解法不同。物理和工程的思考如同算术的计算,套用各种熟知的模式,推理直观明朗,至于无实用价值的细节,则不予深究。而数学思考出发于严格的定义,犹如代数的计算,将具体的问题归纳为抽象问题,或再把抽象问题转化成从另一种的抽象,精确分析引用已被证明过的答案,过程严谨冷峻,摒除想象的误导。在上面的分析中,对δ函数,我们只用到不被认为是“定义”的部分性质作为推理的根据,即使在计算中也只把它当作近似中的极端情况,丝毫没有作为泛函来处理。因为在这个工程应用中,我们关心的是现实系统近似的表现,由于极端情况下的性质易于估算,我们以此来简化计算。

如果满足于在工程和教学中的计算应用,你在校所受到的数学训练是足够了。那些都是专业中的前辈,为后辈挑选出来基本的数学工具,也提供了便于仿效的简化计算推理的范例,它们的正确性已经被数学证明和实践检验过,你只要知其然,认真仿效便足以谋生。如果你不满足于此,想知其所以然,还想有所创新,你就要有更深邃的数学眼光。

另一方面,学好数学并不见的就懂得应用。这必须接地气,对应用对象有真实的感觉和经验,才能用虚拟世界里的想象,指引现实天空下的飞翔。



https://blog.sciencenet.cn/blog-826653-897336.html

上一篇:狄拉克δ函数的数学迷思
下一篇:工程应用狄拉克δ函数的模型问题
收藏 IP: 50.156.25.*| 热度|

30 马磊 刘全慧 魏焱明 马德义 赵继慧 苏力宏 郭年 王春艳 孟凡 张江敏 田云川 石胜利 李伟钢 李宇斌 赵美娣 文克玲 黄永义 王国强 张天蓉 韦玉程 张云 徐晓 shenlu icgwang yangb919 zjzhaokeqin lrx changtg xuexiyanjiu xqhuang

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (37 个评论)

IP: 108.193.236.*   回复 | 赞 +1 [20]张海涛   2015-6-16 08:19
应老师,我不是批评您。您讲的在数学上无可指摘。但狄拉克函数用在这里确实有问题。一般来说,越接近理想(即瞬时的无穷窄脉冲)近似应该越精确,但这里实际上越接近理想,本来可以忽略不计的杂散电感变得越重要,近似越不精确,需要加限制,这和一般的近似是有本质差别的,会误导学生。
也许您想说的是这个限制对普通模拟电路(不是数字电路)不重要,这个我可以同意。
回复  对。这是对模拟量的计算。
狄拉克函数是用理想化电源来做简化近似的。在这里电路的模型已经根据它的应用情况确定了。只不过把其中的脉冲电源,当作狄拉克函数来作简化计算。在这种近似计算中,确实电源越接近理想,近似越精确的。这种计算中的抽象,并不改变实际电路,所以电路适用的情况在模型化中,该忽略电感在计算中还是该忽略。你把计算中的理想化和用实际实现来逼近理想化混起来了。
对玩控制的,系统建立数学模型,特别是对电路系统建模是基本功。
2015-6-16 10:521 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 108.193.236.*   回复 | 赞 +1 [19]张海涛   2015-6-16 07:45
嗯,我二十年前开始做集成电路设计的时候,就必须考虑管脚连线的电感。现在的数字电路时钟,更是达到射频(GHz),电路板布线是很大的问题。本文的电路在给定的条件下肯定是震荡的,这个使用90年代后期的电子元件就会是一个现实,不用说现在了。本来这道题一般假设一两个开关来控制充电放电,具有很正常的物理意义,可清华的非要卖弄一下狄拉克函数,有点儿露馅儿。
注意我写的rise time是0.1纳秒。
回复  理解。人们常从工作经验作出反应。   知道你说的是射频纳秒级数字电路,所以上次回复,在那里强调这应用对象是对毫秒级(和微秒级)脉冲的电子电路。实际上对数字电路IC的应用者,人们关心的是逻辑性能,不再分析这些元件了。只有电子电路IC spec有电阻电容的图的,人们才关心这些电压电流的量,外接电源测算。清华电机系这题的应用对象,是计算这毫(微)秒级脉冲的电子电路。
2015-6-16 10:241 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 108.193.236.*   回复 | 赞 +1 [18]张海涛   2015-6-15 13:37
高频下电感绝对是决定性的。感抗与频率成正比,容抗与频率成反比。题目假设瞬时下容抗趋于零,电阻分流忽略不计,但是实际上串联感抗是无穷大,在取极限时分流取决于感抗的比例,和电容电阻无关。学数学的这些不清楚没关系,学电的就不应该了。即使是从常见的数值上讲,管脚电感10nH, 如果rise time做到0.1ns,电容的管脚感抗和并联的电阻有得一比。不是说本题的技巧没意义,但绝对不是高频极限的解,也不是低频的解,只在一定的频率区间近似成立。技巧本身是微分方程的数学推理,没有实际对应。
回复  你说到在极高频下电路中杂散电感不容忽视,理论上是对。所以在这种情况下,电路的计算必须把电感表达在电路图中。但这是针对极高频下电路模型化考虑的问题,而不是通常电子电路在它实用情况下的计算问题。你如果了解到1ms = 1000000ns,而数字电路上脉冲宽度多是毫秒ms级别的,你大约就不会这么说了。你想以此批评清华电机系的这道习题的实用意义。却假设了错误的情况。
典型的数字电路,近乎矩形的电压和电流脉冲,都没有高到杂散电感足以影响计算的程度,所以电子电路中,无论是对IC还是分立元件以杂散电感画入供以分析计算的电路图中十分罕见。说明在这些典型应用情况,你所说的电感都可以忽略不计。
也许你想说狄拉克函数是极高频脉冲电源的极限模拟,所以频率越高越靠近这理想电路情况。
这就是文中强调的,工程上利用狄拉克函数不是考究它作为极限的性质,而是用它的性质来估算实际问题的答案。在实践上这是一个很好的估算。这就是为什么它称为脉冲函数被广泛应用在工程中。
说到底就是这样的估算能多靠近这实际的测量值。对这电路不难分析如下。数字电路中脉冲的宽度多是毫秒级别的,比如说0.1ms,即使按你所说“从常见的数值上讲,管脚电感10nH, 如果rise time做到0.1ns,电容的管脚感抗和并联的电阻有得一比”,那么对0.1ms脉冲电源,以百分之一脉冲宽度来上升,在0.0001ms时间里,这感抗大约是并联电阻的千分之一,而后98%时段里没影响,它无论加在电路哪里都可忽略不计,而0.1ms宽度的脉冲电源在电阻上分掉的电量不足0.05mC,全部影响加起来,用这种抽象化的估算,误差不足5%,几乎全部的误差来自非无穷小时间区间的电阻消耗,电感方面可以忽略。  当脉冲宽度从这变小,电阻的消耗的误差中依线性减小,而电感对误差的贡献从极小慢慢增大。所以说,在数字电路中,这是个很好的估算模型,误差要担心的不是频率太高而是太低。
2015-6-16 05:161 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
回复  抱歉,下面说的“数字电路”是“电子电路”的笔误。指的是关注计算对象为电压电流量值的模拟线路。
2015-6-16 13:012 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 108.193.238.*   回复 | 赞 +1 [17]张海涛   2015-6-14 08:39
其实真正的物理问题在于不可能没有电感。任何电线,管脚都有电感。再小的但有限的串联电感也会产生无穷的电压,导致电阻的分流在极限下不可知(实际上电路会震荡)。这道题变得没有意义。
回复  实际上电感不是问题,它很小,即使阻止电流导数增大的急剧性,也不过与电源内阻和线路电阻一样,使得电容充电电流不可以是无穷大。现实中的相近的情况是,供电电流有限时间区间很小的脉冲电源,它可以把在电容电阻并联节点回路外的各种因素包含在内。
因为并联节点间去电容的线路电阻远小于电阻分路中的1K,只要电源供电区间h足够小,电阻分流的电量与在电容能上相比都可以忽略不计,所以仍然可以认为这脉冲电源几乎所有电量都加在电容上,然后计算出供电之后电阻上的电流。这个直观的推理与用狄拉克函数的电源分析是一致的。所以这题目确是现实情况一个很好的近似。
如果把各种考虑到的因素都加在微分方程求解,也是必然如此。上一段落的直观推理,远比解方程方法来得简单清晰,显示出直观推理在实践中应用的优势。
2015-6-14 12:501 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 182.149.192.*   回复 | 赞 +1 [16]trx12345   2015-6-13 14:35
清华大学的电路原理课题很有意思。俺也来凑个热闹。应行仁博士把初始时间定在 $t=$0, 这时电流源 $i_s(t)$ =$\delta(t)$ 已经走过了半个脉冲,引起了 $i_R(t)$ 初始值 $i_R(0)$ 确定的争议。其实,如果把初始时间定在 $t<$0, 即电容或电阻上的电压的初始值定为 $U(t<0)$=0,利用一阶常微分方程的通解和$\delta$函数性质,便可直接得到严格解,避免了不必要的争议。得到的电流解是

$i_R(t)=\frac{1}{RC}e^{-t/(RC)}H(t)$

$i_C(t)= -\frac{1}{RC}e^{-t/(RC)}H(t)+\delta (t)$

其中H(t)是单位阶跃函数,$\delta$函数的原函数,$dH(t)/dt =\delta(t)$。
电压的初始值定为 $U(t<0)$=0 在物理上是很清楚的,因为脉冲还没有作用在电容或电阻上。
回复  其实这里解释中,时间也是从小于0处开始,这时各处无论是电压电流都是0. 之所以分成小于0,等于0,大于0三段考虑,是因为头尾两段都是平淡无奇,人人都同意的答案。关键在0处的数值,这就需要把这点展开成区间细考。文章的重点在此。
你的两个式子是对的,它只是把整个时间过程放在一个式子里。这可以修改(2)方程时,直接用狄拉克函数性质,通过形式推导得到。
2015-6-13 23:281 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 119.184.84.*   回复 | 赞 +1 [15]starfield123   2015-6-13 13:05
推荐部电影 http://www.bilibili.com/video/av2411209/ 张益唐纪录片
IP: 113.99.4.*   回复 | 赞 +1 [14]xuexiyanjiu   2015-6-13 09:36
1、系列科普——点赞。
2、不由自主思考起这个函数的“天体演化学”含义——这个函数似乎是在暗示着什么...
回复  我下一篇写点初级的函数,人们在公式推导中会毫不经意地用了不该用的性质,说明乱套公式可以得到什么惊人结果。
2015-6-13 11:391 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 58.67.157.*   回复 | 赞 +1 [13]孟凡   2015-6-13 09:03
我确定我学过傅立叶变换。不要那么早就下结论。咱是探讨,不用那么严肃。建议多找几个人讨论下。也别受经验主义羁绊。
IP: 58.67.157.*   回复 | 赞 +1 [12]孟凡   2015-6-13 06:18
你再仔细计算计算,思考思考,别贸然下结论。
回复  你确定除了会套公式外,真的学过傅立叶变换?
2015-6-13 07:511 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 182.149.192.*   回复 | 赞 +1 [11]trx12345   2015-6-12 22:43
如果 $i_R(0)$  是无穷大,则电阻和与之并联电容上的电压也是无穷大。
---- 原来您有解释,没仔细看,对不起。不过这种处理牵涉很多物理概念,光靠数学还不行。
回复  这里的解释是不断重复的,最初从工程知识角度,不断挖掘工程已有知识的根据所在,直到不再借助已有的知识,直接从基本电学原理和微分方程做出相同的答案。
2015-6-13 00:321 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 182.149.192.*   回复 | 赞 +1 [10]trx12345   2015-6-12 21:53
将式(1)在[0-, 0+]区间(0的无穷小邻域)积分,代人(2)式后有
$\int_{0-}^{0+}i_R(t)dt+i_R(0+)RC$=1,便得到
$i_R(0+)=\frac{1}{RC}$,这与工科生的算术推理完全一样。

------ 请教一下,为什么 $\int_{0-}^{0+}i_R(t)dt $= 0 ?
回复  [0-, 0+]是一个无穷小区间,它可以用[-a, a], a 趋于0来逼近。从(1)(2)式知道i_R是有界的,记为M,这个积分值是个非负的数,不大于2Ma,它随a趋于0,而为0.
2015-6-12 22:541 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 180.174.8.*   回复 | 赞 +1 [9]icgwang   2015-6-12 21:13
比如从无到有,概率的1的积分理由。其“物理”解释其实往往和数学理论是两张皮,但有正数就有负数,有正物质就有反物质等等,类似的延宕式表达,总归是一种很有涵盖分析潜力的表达框架,比较容易拿来说事儿!
IP: 180.174.8.*   回复 | 赞 +1 [8]icgwang   2015-6-12 20:57
零点是正负无穷大无限靠近的结果,持续零值可以用同频正负波的叠加抵消来解释。泛函,泛型,泛类,微分和积分貌似最终是一个类,解析与综合相互解释。感觉这个电流的例子其实很数学,如果没有微积分解析表达因果逻辑的推测与实证的话,能不能物理化地把事情表达得同等清楚呢?也许是可能的。
IP: 221.8.126.*   回复 | 赞 +1 [7]hocuser   2015-6-12 16:22
今日又见应老师新博文!!今日当又有新收获!!拜读中....
回复    
2015-6-13 00:241 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 182.200.84.*   回复 | 赞 +1 [6]田云川   2015-6-12 16:15
  
回复    
2015-6-13 00:241 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 60.247.45.*   回复 | 赞 +1 [5]qianghaisheng   2015-6-12 15:39
如果你不满足于此,想知其所以然,还想有所创新,你就要有更深邃的数学眼光。
回复    
2015-6-13 00:241 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 119.145.137.*   回复 | 赞 +1 [4]孟凡   2015-6-12 14:01
我博文里有一个关于狄拉克函数更深刻的迷思,狄拉克函数在复平面的平移。见我的博文http://blog.sciencenet.cn/blog-259195-598372.html
http://blog.sciencenet.cn/blog-259195-669319.html
悬赏好几年了,无人可解
回复  已在你的博文中评论。这没狄拉克函数什么事,只需要对傅立叶变换正确理解。
2015-6-13 00:221 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 119.85.111.*   回复 | 赞 +1 [3]郭年   2015-6-12 11:46
在广义函数论中,δ函数还可以作为分段函数在间断点的导数,从而使得很多在经典意义下不可导的函数都可导了。这在解微分方程中很有用。
回复  是的。这在上篇提到。
2015-6-12 12:331 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 118.113.70.*   回复 | 赞 +1 [2]赵继慧   2015-6-12 10:40
学习了,好文!
回复  谢谢!
2015-6-12 12:341 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 175.8.159.*   回复 | 赞 +1 [1]刘全慧   2015-6-12 08:37
对于物理学来说,第二个公式就是定义式。或者说,物理学认为δ函数就是一种特殊的分布(函数).
回复  即使没有准确地把它当作泛函,后面的“功能性的定义”比积分为1的“定义”丰富,它包含着作为特殊分布函数想要的功能。
2015-6-12 08:531 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复

1/1 | 总计:20 | 首页 | 上一页 | 下一页 | 末页 | 跳转

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2025-3-1 21:59

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007-2025 中国科学报社

返回顶部